[论文解读] The skeleton of the Jacobian, the Jacobian of the skeleton, and lifting meromorphic functions from tropical to algebraic curves

Matthew J. Baker, Joseph Rabinoff|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 6

一句话总结

该论文建立了非阿基米德代数曲线的雅可比簇骨架与该曲线对应的度量图（骨架）的雅可比簇之间的典范同构，表明骨架上的 Λ-有理主除子恰好是曲线上主除子的收缩。关键结果证明，此类除子的提升最多需要增加 g 个额外零点和 g 个额外极点，从而解决了关于热带提升的一个猜想，并实现了曲线在 P³ 中的忠实热带嵌入。

ABSTRACT

Let K be an algebraically closed field which is complete with respect to a nontrivial, non-Archimedean valuation and let \\Lambda be its value group. Given a smooth, proper, connected K-curve X and a skeleton \\Gamma of the Berkovich analytification X^\\an, there are two natural real tori which one can consider: the tropical Jacobian Jac(\\Gamma) and the skeleton of the Berkovich analytification Jac(X)^\\an. We show that the skeleton of the Jacobian is canonically isomorphic to the Jacobian of the skeleton as principally polarized tropical abelian varieties. In addition, we show that the tropicalization of a classical Abel-Jacobi map is a tropical Abel-Jacobi map. As a consequence of these results, we deduce that \\Lambda-rational principal divisors on \\Gamma, in the sense of tropical geometry, are exactly the retractions of principal divisors on X. We actually prove a more precise result which says that, although zeros and poles of divisors can cancel under the retraction map, in order to lift a \\Lambda-rational principal divisor on \\Gamma to a principal divisor on X it is never necessary to add more than g extra zeros and g extra poles. Our results imply that a continuous function F:\\Gamma -> R is the restriction to \\Gamma of -log|f| for some nonzero meromorphic function f on X if and only if F is a \\Lambda-rational tropical meromorphic function, and we use this fact to prove that there is a rational map f : X --> P^3 whose tropicalization, when restricted to \\Gamma, is an isometry onto its image.

研究动机与目标

• 建立非阿基米德曲线的雅可比簇骨架与该曲线骨架的雅可比簇之间作为主极化热带阿贝尔簇的典范同构。
• 证明经典阿贝尔-雅可比映射的热带化即为热带阿贝尔-雅可比映射。
• 将 Λ-有理热带亚纯函数表征为曲线上亚纯函数 f 的 −log|f| 的限制。
• 证明骨架上的 Λ-有理主除子恰好是曲线上主除子的收缩，且其提升最多增加 g 个额外零点和 g 个额外极点。
• 证明存在一个有理映射 f:X⇢P³，其热带化在骨架上限制为等距映射。

提出的方法

• 使用伯克维奇解析化以及形变收缩 τ:X^an→Γ，将 X 上的代数除子与度量图 Γ 上的热带除子联系起来。
• 应用非阿基米德分析，证明 −log|f| 在 Γ 上的限制是一个具有除子 τ*(div(f)) 的 Λ-有理热带亚纯函数。
• 采用重心剖分和在精化图 G'' 上构造的非对称热带函数 F₁, F₂, F₃，实现到 R³ 的等距嵌入。
• 使用具有整数斜率和 Λ-有理值的分段仿射函数来定义热带亚纯函数及其除子。
• 利用热带几何中的平衡条件，确保准平衡嵌入的存在性。
• 构造显式的函数 F₁, F₂, F₃，其具有不同的斜率和非对称行为，以证明热带化映射的单射性和等距性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非阿基米德曲线的雅可比簇骨架是否作为主极化热带阿贝尔簇，与该曲线骨架的雅可比簇之间存在典范同构？
• RQ2 骨架上的每个 Λ-有理主除子是否都能被提升为曲线上主除子？若能，最多需要增加多少个额外零点和极点？
• RQ3 连续函数 F:Γ→R 是否为某个 X 上亚纯函数 f 的 −log|f| 的限制，当且仅当 F 是 Λ-有理热带亚纯函数？
• RQ4 是否存在一个有理映射 f:X⇢P³，使得其热带化在骨架 Γ 上限制为等距映射？
• RQ5 此类映射是否可被构造，使得其热带化在热带几何意义下忠实表示骨架？

主要发现

• 雅可比簇 Jac(X)^an 的骨架与骨架 Jac(Γ) 作为主极化热带阿贝尔簇之间存在典范同构。
• 经典阿贝尔-雅可比映射的热带化即为热带阿贝尔-雅可比映射，建立了代数几何与热带几何之间的桥梁。
• 骨架上的 Λ-有理主除子恰好是曲线上主除子的收缩。
• 将骨架上一个 Λ-有理主除子提升为曲线上主除子，最多需要增加 g 个额外零点和 g 个额外极点。
• 连续函数 F:Γ→R 是某个 X 上亚纯函数 f 的 −log|f| 的限制，当且仅当 F 是 Λ-有理热带亚纯函数。
• 存在一个有理映射 f:X⇢P³，其热带化在限制到骨架 Γ 时，映射到其像上为等距映射。