[论文解读] The Sliding Frank-Wolfe Algorithm and its Application to Super-Resolution Microscopy

Quentin Denoyelle, Vincent Duval+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2018

Advanced Fluorescence Microscopy Techniques参考文献 74被引用 101

一句话总结

引入 Sliding Frank-Wolfe 算法，用于解决 BLASSO 稀疏尖峰超分辨问题，通过交替进行凸更新与非凸尖峰移动，在一维正拉普拉斯变换情形下证明有限终止和精确的支撑恢复，应用于单分子荧光成像。

ABSTRACT

This paper showcases the theoretical and numerical performance of the Sliding Frank-Wolfe, which is a novel optimization algorithm to solve the BLASSO sparse spikes super-resolution problem. The BLASSO is a continuous (i.e. off-the-grid or grid-less) counterpart to the well-known 1 sparse regularisation method (also known as LASSO or Basis Pursuit). Our algorithm is a variation on the classical Frank-Wolfe (also known as conditional gradient) which follows a recent trend of interleaving convex optimization updates (corresponding to adding new spikes) with non-convex optimization steps (corresponding to moving the spikes). Our main theoretical result is that this algorithm terminates in a finite number of steps under a mild non-degeneracy hypothesis. We then target applications of this method to several instances of single molecule fluorescence imaging modalities, among which certain approaches rely heavily on the inversion of a Laplace transform. Our second theoretical contribution is the proof of the exact support recovery property of the BLASSO to invert the 1-D Laplace transform in the case of positive spikes. On the numerical side, we conclude this paper with an extensive study of the practical performance of the Sliding Frank-Wolfe on different instantiations of single molecule fluorescence imaging, including convolutive and non-convolutive (Laplace-like) operators. This shows the versatility and superiority of this method with respect to alternative sparse recovery technics.

研究动机与目标

• 将 BLASSO 稀疏尖峰超分辨问题动机化并形式化为 LASSO 的连续（无网格）对应问题。
• 发展 Sliding Frank-Wolfe 算法，使其将添加尖峰（凸更新）与移动尖峰（非凸更新）交错进行。
• 在一种温和的非退化条件下建立有限终止。
• 证明在一维拉普拉斯变换的反演中，当尖峰为正时可以实现精确的支撑恢复。
• 在多种单分子荧光成像设置中展示实际性能。

提出的方法

• 将 Sliding Frank-Wolfe 算法呈现为经典 Frank-Wolfe（条件梯度）方法的变体。
• 将凸优化步骤（添加新的尖峰）与非凸优化步骤（调整尖峰位置）结合起来。
• 给出理论结果：在温和的非退化假设下的有限终止，以及在一维拉普拉斯变换情形下正尖峰的精确支撑恢复。
• 将该方法应用于荧光成像模态，包括卷积型和非卷积型（Laplace-类似）算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 BLASSO 稀疏尖峰超分辨问题是否可以用有限终止的算法解决？
• RQ2 将凸尖峰添加与非凸尖峰移动交错进行是否带来实际和理论上的优势？
• RQ3 在什么条件下，该方法可以在正尖峰下实现一维拉普拉斯变换求逆的精确支撑恢复？
• RQ4 相较于其他方法，Sliding Frank-Wolfe 在不同的单分子荧光成像算子（卷积型和 Laplace-like）上的表现如何？

主要发现

• 在温和的非退化假设下，Sliding Frank-Wolfe 算法在有限步数内终止。
• 在正尖峰的情况下，该方法实现了一维拉普拉斯变换的精确支撑恢复。
• 数值实验表明该方法在不同的单分子荧光成像设置中具有多样性和优越性，包括卷积型和 Laplace-像算子，相较于其他稀疏恢复技术。