[论文解读] The slow regime of randomly biased walks on trees

Yueyun Hu, Zhan Shi|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文研究了超临界Galton–Watson树上随机偏置的随机游走的慢 regime，其中游走是零常返的，并表现出阶为 $(\log n)^3$ 的最大位移。研究证明了游走位置 $X_n$ 的 quenched 分布收敛于一个时间依赖的不变测度，并证明了 $|X_n| / (\log n)^2$ 依分布收敛到一个非退化的极限，其分布律可显式计算。

ABSTRACT

We are interested in the randomly biased random walk on the supercritical Galton--Watson tree. Our attention is focused on a slow regime when the biased random walk $(X_n)$ is null recurrent, making a maximal displacement of order of magnitude $(\log n)^3$ in the first $n$ steps. We study the localization problem of $X_n$ and prove that the quenched law of $X_n$ can be approximated by a certain invariant probability depending on $n$ and the random environment. As a consequence, we establish that upon the survival of the system, $\frac{|X_n|}{(\log n)^2}$ converges in law to some non-degenerate limit on $(0, \infty)$ whose law is explicitly computed.

研究动机与目标

• 分析超临界Galton–Watson树上随机偏置随机游走在零常返（慢）regime下的局域化与标度行为。
• 理解在长时间极限下游走位置 $X_n$ 的 quenched 分布，特别是当其为零常返时的情形。
• 建立缩放位移 $|X_n| / (\log n)^2$ 依分布收敛到一个非退化极限分布的结果。
• 通过环境的随机结构和加法鞅显式刻画极限分布。
• 将确定性偏置结果推广到满足边界情形条件 $\mathbf{E}[\sum A_i] = 1$ 且 $\mathbf{E}[\sum A_i \log A_i] = 0$ 的i.i.d.转移偏置随机环境。

提出的方法

• 使用在Galton–Watson树上具有i.i.d.偏置向量 $A(x)$ 的随机环境中的随机游走框架。
• 应用加法鞅 $W_k = \sum_{|x|=k} e^{-V(x)}$ 来分析势测度和局部时结构。
• 引入一个 quenched 不变测度 $\pi_n$，它近似时间 $n$ 时 $X_n$ 的分布，该测度由势 $V(x)$ 和前沿处的局部时 $\mathscr{L}_n$ 构造而成。
• 采用耦合论证和总变差距离控制，证明 $P_\omega(X_n \in A)$ 被 $\pi_n(A)$ 良好逼近，且误差在 $\mathbf{P}^*$-概率下趋于零。
• 通过 $\pi_n$ 和 $\pi_{n-1}$ 的时间平均技术处理游走的离散性，从而推导出依分布收敛。
• 利用 $Y_n / \log n \to 2D_\infty / \sigma^2$ 在 $\mathbf{P}^*$-概率下的收敛性，以及 $W_k^{(\lambda)}$ 的渐近行为，推导出极限分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Galton–Watson树上偏置随机游走的零常返regime中，位置 $X_n$ 的 quenched 分布行为如何？
• RQ2 在此regime下，最大位移 $\max_{i \leq n} |X_i|$ 的标度行为如何？
• RQ3 $|X_n| / (\log n)^2$ 是否依分布收敛到一个非退化的极限？若是，其分布律为何？
• RQ4 能否用从环境导出的时间依赖不变测度来近似 $X_n$ 的 quenched 分布？
• RQ5 加法鞅 $W_k$ 和势 $V(x)$ 如何贡献于局域化与收敛结果？

主要发现

• 偏置游走的最大位移满足：在存活条件下，几乎必然有 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(\log n)^3} \max_{0 \leq i \leq n} |X_i| = \frac{8}{3\pi^2 \sigma^2}$。
• 在 $\mathbf{P}^*$-概率下，$X_n$ 的 quenched 分布渐近地被时间依赖不变测度 $\pi_n$ 近似，且 $\mathrm{d_{tv}}(P_\omega(X_n \in \cdot), \pi_n(\cdot)) \to 0$。
• $|X_n| / (\log n)^2$ 依分布收敛到 $(0, \infty)$ 上的一个非退化极限，其分布律显式计算为 $\mathbb{E}[(B^{1/2} \wedge \frac{1}{\sigma \eta}) - b^{1/2}] \mathbf{1}_{\{\eta \leq \frac{1}{\sigma b^{1/2}}\}}$。
• 极限分布依赖于随机变量 $\eta$，该变量源自归一化的加法鞅 $D_\infty$，并通过环境的分布律刻画。
• 收敛性在可积性条件 (1.3) 和边界情形条件 (1.2) 下成立，确保了零常返性及极限的存在性。
• 证明依赖于在渐近等价性 $\sum_{|x|=k} \mathbf{1}_{\{x < \mathscr{L}_n\}} e^{-V(x)} \sim W_k^{(\log n)}$，后者在标度极限下收敛到稳定分布。