[论文解读] The smallest Dirac eigenvalue in a spin-conformal class and cmc-immersions

Bernd Ammann|ArXiv.org|Sep 3, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 12

一句话总结

本文在包含某些奇异度量的扩展共形类中，建立了最小正狄拉克特征值经体积的 $1/n$ 次幂缩放后存在极小化器。通过求解具有临界索伯列夫指数的非线性狄拉克方程，作者证明：若下确界严格小于球面的对应值，则最小化器由 $C^2$ 自旋场实现，从而得到具有受控退化集的广义度量。

ABSTRACT

Let us fix a conformal class $[g_0]$ and a spin structure $σ$ on a compact manifold $M$. For any $g\in [g_0]$, let $λ^+_1(g)$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator $D$ on $(M,g,σ)$. In a previous paper we have shown that $$λ_{min}(M,g_0,σ):=\inf_{g\in [g_0]} λ_1^+(g)\vol(M,g)^{1/n}>0.$$ In the present article, we enlarge the conformal class by certain singular metrics. We will show that if $λ_{min}(M,g_0,σ)

研究动机与目标

• 确定在共形类中，最小正狄拉克特征值经体积缩放后的下确界是否可实现。
• 将共形类扩展至包含 $L^∞$ 有界的共形因子，从而允许奇异度量。
• 在下确界严格小于球面对应值的条件下，分析极小化器的存在性。
• 建立临界非线性狄拉克方程的解与二维常平均曲率曲面之间的联系。
• 将狄拉克算子的共形不变性与谱界结果推广至光滑度量之外的范围。

提出的方法

• 将共形类 $[g_0]$ 扩展至其 $L^∞$-完备化 $\overline{[g_0]}$，允许形如 $g = f^2 g_0$ 的度量，其中 $f \in L^\infty$。
• 定义泛函 $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma) = \inf_{g \in [g_0]} \lambda_1^+(g) \cdot {\rm vol}(M,g)^{1/n}$，并研究其可实现性。
• 求解具有临界指数 $2/(n-1)$ 的非线性狄拉克方程 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$，其形式类似于 Yamabe 问题。
• 利用自旋型 Weierstraß 表示法，将二维中的解与周期性常平均曲率曲面联系起来。
• 应用椭圆正则性理论与索伯列夫嵌入定理，建立解的 $C^2$ 正则性及在 Hölder 空间中的紧性。
• 采用 Rellich-Kondrakov 与 Ascoli-Arzelà 型定理，确保在扩展共形类中极小化序列的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，最小正狄拉克特征值经体积缩放后的下确界可在共形类中实现？
• RQ2 是否可将共形类扩展至包含奇异度量，使得极小化问题仍保持良好定义且可解？
• RQ3 非线性项 $|\varphi|^{2/(n-1)}$ 在狄拉克方程 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ 中起何作用？
• RQ4 该非线性狄拉克方程的解如何与二维常平均曲率曲面的几何相关联？
• RQ5 下确界严格小于球面 $S^n$ 的对应值是否足以保证在扩展共形类中存在极小化器？

主要发现

• 对于任意紧致自旋流形，若固定共形类与自旋结构，则下确界 $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma)$ 严格为正。
• 若 $\lambda_{\rm min}^+(M, [g_0], \sigma) < \lambda_{\rm min}^+(S^n) = \frac{n}{2} \omega_n^{1/n}$，则下确界由广义度量 $g = |\varphi|^{4/(n-1)} g_0$ 实现，其中 $\varphi \in C^2$。
• 极小化器对应于非线性狄拉克方程 $D\varphi = \lambda |\varphi|^{2/(n-1)} \varphi$ 的解 $\varphi$，且 $\lambda = \lambda_{\rm min}^+$。
• 在二维情形下，非线性狄拉克方程的解通过自旋型 Weierstraß 表示法生成周期性常平均曲率曲面。
• 节点集 $\varphi^{-1}(0)$（即度量退化的集合）是 $M$ 的闭子集，测度为零，且为广义度量的奇点集。
• 证明依赖于 Hölder 空间与索伯列夫空间中的紧性，且在 $C^\infty$-收敛度量序列下，常数具有一致有界性。