[论文解读] The smash product of symmetric functions. Extended abstract

Marcelo Aguiar, Walter Ferrer+1 more|ArXiv.org|Dec 1, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文引入了一种新的对称函数上的霍普夫代数乘积，称为“半直积”（smash product），通过结合对称群表示的诱导与限制构造，在经典内部乘积与外部乘积之间实现插值。主要贡献在于非交换对称函数中结构常数的组合规则，以及通过字母表定义的拟对称函数上的对偶余乘积，其中半直积由在乘积字母表 $(
+{
X})×(
+{
Y}) -
$ 上的取值给出，从而建立了与排列代数上半直积的对偶性。

ABSTRACT

We construct a new operation among representations of the symmetric group that interpolates between the classical internal and external products, which are defined in terms of tensor product and induction of representations. Following Malvenuto and Reutenauer, we pass from symmetric functions to non-commutative symmetric functions and from there to the algebra of permutations in order to relate the internal and external products to the composition and convolution of linear endomorphisms of the tensor algebra. The new product we construct corresponds to the smash product of endomorphisms of the tensor algebra. For symmetric functions, the smash product is given by a construction which combines induction and restriction of representations. For non-commutative symmetric functions, the structure constants of the smash product are given by an explicit combinatorial rule which extends a well-known result of Garsia, Remmel, Reutenauer, and Solomon for the descent algebra. We describe the dual operation among quasi-symmetric functions in terms of alphabets.

研究动机与目标

• 定义对称函数上的一种新运算，以在对称群表示的古典内部乘积与外部乘积之间实现平滑插值。
• 通过非交换对称函数中结构常数的组合规则，将此插值关系扩展到非交换对称函数层面。
• 通过使用字母表的新型余乘积构造，定义拟对称函数上的对偶运算。
• 建立排列代数上半直积与拟对称函数上余乘积之间的对偶性。
• 提供一个统一框架，通过自同态复合与卷积，将对称函数、非交换对称函数与张量代数联系起来。

提出的方法

• 通过将内部乘积与外部乘积提升为张量代数上的自同态，其中它们分别对应于复合与卷积，来构造半直积。
• 利用 Malvenuto–Reutenauer 同构，将对称函数与非交换对称函数以及排列代数联系起来。
• 非交换对称函数中半直积的结构常数由一个显式组合规则给出，该规则扩展了 Garsia–Remmel–Reutenauer–Solomon 关于下降代数的结果。
• 通过与半直积的配对，利用函数在字母表 \\((\mathbf{1}+{\bf X})\times(\mathbf{1}+{\bf Y}) - \mathbf{1}\\) 上的取值，定义拟对称函数上的对偶余乘积，该字母表由 ${\bf X}$、${\bf Y}$ 与 ${\bf X} \times {\bf Y}$ 的不相交并集构成，并赋予逆字典序。
• 证明了带有半直积余乘积的拟对称函数霍普夫代数的对合（antipode）由在字母表 ${\bf X}^*$（即所有 ${\bf X}$ 的笛卡尔幂的不相交并集）的逆序上的取值给出。
• 在完备对偶空间 $\widehat{\mathcal{Q}}$ 上定义了一个生成函数映射 $\varphi(f) = f({\bf e}({\bf X}))$，并证明该映射与 $\Sigma$ 上 $(*,\Delta)$ 与 $(\#,\Delta)$ 之间的同构对偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对称函数上定义一种新乘积，使其在对称群表示的内部乘积与外部乘积之间实现平滑插值？
• RQ2 在非交换对称函数代数中，半直积的组合结构是什么？它如何推广已知的下降代数结果？
• RQ3 拟对称函数上的对偶余乘积如何实现？其代数与组合解释在字母表的语境下是什么？
• RQ4 与排列代数上半直积对偶的拟对称函数霍普夫代数的余乘积的确切形式是什么？
• RQ5 带有半直积余乘积的拟对称函数霍普夫代数的对合如何与在字母表 ${\bf X}^*$ 上的取值相关？

主要发现

• 对称函数上的半直积通过结合对称群表示的诱导与限制实现，为内部乘积与外部乘积提供统一的插值。
• 在非交换对称函数代数中，半直积的结构常数由一个显式组合规则给出，该规则推广了 Garsia–Remmel–Reutenauer–Solomon 关于下降代数的规则。
• 拟对称函数霍普夫代数上的对偶余乘积 $\Delta_{\#}$ 显式表示为 $\Delta_{\#}(f({\bf X})) = f((\mathbf{1}+{\bf X})\times(\mathbf{1}+{\bf Y}) - \mathbf{1})$，其中字母表由 ${\bf X}$、${\bf Y}$ 与 ${\bf X} \times {\bf Y}$ 的不相交并集构成，并赋予逆字典序。
• 带有半直积余乘积的拟对称函数霍普夫代数的对合为 $S_{\#}(f) = f(-{\bf X}^*)$，其中 ${\bf X}^*$ 是所有 ${\bf X}$ 的笛卡尔幂的不相交并集，按逆字典序排列。
• 映射 $\varphi(f) = f({\bf e}({\bf X}))$，其中 ${\bf e}({\bf X})$ 是严格递增序列的字母表，被证明与排列代数上卷积与半直积结构之间的同构对偶。
• 带有半直积的霍普夫代数 $\mathcal{Q}$ 与连通霍普夫代数 $(\Sigma, \#, \Delta)$ 之间存在完全对偶，确立了两者结构之间的对偶关系。