[论文解读] The smooth Riemannian extension problem: completeness

Stefano Pigola, Giona Veronelli|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文证明，任意光滑、度量完备的黎曼流形（带光滑边界）均可通过一种通用的粘合与共形形变构造，等距嵌入到一个无边界的光滑、测地完备黎曼流形中作为闭区域。关键贡献在于：存在保持度量完备性的完备黎曼扩张，其在Sobolev空间与正规Nash嵌入方面具有应用价值。

ABSTRACT

By means of a general gluing and conformal-deformation construction, we prove that any smooth, metrically complete Riemannian manifold with smooth boundary can be realized as a closed domain into a smooth, geodesically complete Riemannan manifold without boundary. Applications to Sobolev spaces, Nash embedding and local extensions with strict curvature bounds are presented.

研究动机与目标

• 解决将光滑、度量完备的带边黎曼流形等距扩展为无边界的测地完备流形这一基本问题。
• 研究此类扩张是否能保持曲率约束，如截面曲率、里奇曲率或数量曲率的有界性。
• 探讨在扩张过程中可能出现的拓扑障碍，特别是与曲率有界性和基本群限制的关系。
• 利用完备扩张的存在性，建立流形上带边界的Sobolev空间的稠密性结果。
• 通过扩张技术，证明完备黎曼流形带边界的正规等距嵌入可实现于欧氏空间。

提出的方法

• 通过一种通用的粘合与共形形变过程，构造出光滑、测地完备的黎曼扩张。
• 在扩张流形上使用相对于局部有限、相对紧致的光滑图册的单位分解。
• 在局部坐标中应用标准的光滑化与逼近技术，以逼近$W^{1,p}$-空间中的函数。
• 在原流形上使用一个光滑、全局Lipschitz的穷竭函数$\rho_M$，以控制在紧致子集上的逼近。
• 利用截断函数$\psi_k = \psi(\rho_N/k)$，其中$\psi$为光滑且紧支集的函数，逼近$C_c^\infty(N)$中的函数。
• 将Sobolev函数的延拓问题归约为通过完备黎曼流形的延拓，实现正规等距嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个光滑、度量完备的带边黎曼流形是否都能等距嵌入到一个无边界的测地完备黎曼流形中作为闭区域？
• RQ2 在何种条件下，黎曼扩张能保持曲率有界性，如$\mathrm{Ric} \geq C$或$\mathrm{Sect} \leq C$？
• RQ3 原流形中存在何种拓扑约束会阻碍存在满足$\mathrm{Ric} = \lambda$的完备爱因斯坦扩张？
• RQ4 在完备带边流形上，Sobolev函数是否能通过$W^{1,p}$-范数中的光滑紧支集函数逼近？
• RQ5 是否可能通过扩展技术，将一个完备黎曼流形带边部分等距嵌入到某个欧氏空间$\mathbb{R}^\ell$中？

主要发现

• 任意光滑、度量完备的带边黎曼流形均存在一个无边界的测地完备黎曼扩张。
• $W^{1,p}(\mathrm{int}M)$是$C_c^\infty(M)$在$W^{1,p}$-范数下的闭包，意味着紧支集光滑函数在完备带边流形上的Sobolev空间中是稠密的。
• 在任意完备黎曼流形带边的情况下，均存在一个光滑、全局Lipschitz的穷竭函数$\rho_M$，满足$\|\nabla \rho_M\|_{L^\infty} \leq L$。
• 通过先将流形扩展为完备流形，再将其正规嵌入$\mathbb{R}^\ell$，可将经典的Nash嵌入定理推广至带边流形。
• 该构造确保扩展后的度量光滑且测地完备，同时保持原流形的等距嵌入。
• 该方法提供了一个通用框架，可用于构造具有受控曲率与拓扑约束的完备扩张，适用于几何分析与相对论中的问题。