[论文解读] The smoothing of $m$-subharmonic functions

Szymon Pliś|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 14

一句话总结

本文在紧致凯勒流形和严格强伪凸区域上建立了 $m$-次调和函数的 Richberg 型逼近定理，证明了连续 $m$-次调和函数可从上方被光滑的严格 $m$-次调和函数一致逼近。核心方法依赖于带狄利克雷数据的复海森方程的求解，确保了光滑解的存在性与唯一性，从而实现光滑化过程，并解决了关于连续函数的 $m$-次调和性不同定义之间等价性的基础性问题。

ABSTRACT

We prove Richberg type theorem for $m$-subharmonic function. The main tool is the complex Hessian equation for which we obtain the existence of the unique smooth solution in strictly pseudoconvex domains.

研究动机与目标

• 为解决连续函数的 $m$-次调和性不同定义是否一致这一基础性问题。
• 在紧致凯勒流形和严格强伪凸区域上建立 $m$-次调和函数的 Richberg 型定理。
• 证明在严格强伪凸区域中，复海森方程的狄利克雷问题存在唯一光滑解。
• 提供一种构造性方法，以受控上界逼近连续 $m$-次调和函数，使其由光滑严格 $m$-次调和函数从上方逼近。

提出的方法

• 以复海森方程 $(dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m} = dV$ 为核心分析工具，用于构造光滑逼近函数。
• 应用至二阶的先验估计，包括一致估计、梯度估计和内部二阶估计，适用于非正交复向量场。
• 对 $m$-次调和函数应用比较原理，以控制次解行为并确保解的唯一性。
• 通过在有限开覆盖上局部光滑 $m$-次调和函数的对数平均构造光滑逼近。
• 利用涉及 Levi 形式和曲率项的障碍函数方法，控制边界行为并推导二阶估计。
• 依赖于严格强伪凸区域存在严格强伪凸定义函数，以确保海森方程的可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致凯勒流形上的连续 $m$-次调和函数能否被光滑严格 $m$-次调和函数从上方一致逼近？
• RQ2 在严格强伪凸区域中，复海森方程光滑解的存在性是否意味着连续函数的 $m$-次调和性不同定义等价？
• RQ3 在严格强伪凸区域中，复海森方程的狄利克雷问题在连续边界条件下是否具有唯一解？
• RQ4 对 $m$-次调和函数的比较原理能否扩展至包含由严格 $m$-次调和函数扰动的情形，以证明逼近定理？

主要发现

• 定理 1 建立了在紧致凯勒流形上任意连续 $\omega$-$m$-次调和函数，可在给定 $h$-邻域内被光滑严格 $\omega$-$m$-次调和函数从上方一致逼近。
• 定理 2 证明了连续严格 $m$-次调和函数可被光滑严格 $m$-次调和函数从上方逼近，且保持严格次调和性。
• 定理 3 保证了在有界严格强伪凸区域中，复海森方程 $(dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m} = dV$ 的狄利克雷问题在连续边界条件下存在唯一光滑解。
• 推论 4 确认了在严格强伪凸区域中，齐次海森方程 $(dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m} = 0$ 存在连续解，且边界条件为连续。
• 本文通过证明两种主要的 $m$-次调和性定义（通过微分不等式和通过光滑函数逼近）对连续函数是等价的，解决了基础性问题。
• 通过局部光滑函数的对数平均构造逼近，确保所得函数保持严格 $m$-次调和性，并位于所需的上界之内。