[论文解读] The solvability of Brezis-Nirenberg type problems of singular quasilinear elliptic equation

Benjin Xuan|ArXiv.org|Mar 31, 2004

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文建立了具有临界增长和奇异权函数的奇异拟线性椭圆方程解的存在性与非存在性结果，将Brezis-Nirenberg框架推广至含Hardy型势的p-Laplacian情形。通过证明一个新的紧嵌入定理并运用广义的集中紧性原理，作者表明在特定参数约束下，能量泛函满足(PS)₇条件，从而当参数λ低于第一特征值时，存在非平凡弱解。

ABSTRACT

In this paper, we consider the existence and non-existence of non-trivial solution to a Brezis-Nirenberg type problem with singular weights. First, we obtain a compact imbedding theorem which is an extension of the classical Rellich-Kondrachov compact imbedding theorem, and consider the corresponding eigenvalue problem. Secondly, we deduce a Pohozaev type identity and obtained a non-existence result. Thirdly, based on a generalized concentration compactness principle, we will give some abstract conditions when the functional satisfies the (PS)$_c$ condition. Finally, based on the explicit form of the extremal function, we will obtain some existence results to the problem.

研究动机与目标

• 建立具有临界增长和奇异权函数的奇异拟线性椭圆问题非平凡解的存在性与非存在性结果。
• 将经典的Brezis-Nirenberg方法推广至涉及p-Laplacian与加权Sobolev空间的拟线性、奇异情形。
• 证明一个新的紧嵌入定理，该定理在具有奇异权函数的加权Sobolev空间背景下扩展了Rellich-Kondrachov结果。
• 推导一个Pohozaev型恒等式，以在某些参数范围内建立非存在性结果。
• 通过广义的集中紧性原理验证(PS)₇条件，并利用该条件证明能量泛函临界点的存在性。

提出的方法

• 推导空间$\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$到加权$L^r$空间的新型紧嵌入结果，扩展经典Rellich-Kondrachov定理。
• 利用Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式在$\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$上定义能量泛函$E_\lambda(u)$，确保其定义良好且具有$C^1$-正则性。
• 建立Pohozaev型恒等式，以证明当参数位于某些范围内时解不存在。
• 应用广义的集中紧性原理，在特定参数约束下验证能量泛函的(PS)₇条件。
• 基于加权Sobolev不等式的极值函数构造一族截断函数$v_\varepsilon$，以估计山路高度。
• 利用极值函数$U_{a,b}(r)$的显式形式估计能量泛函，表明山路高度严格低于临界阈值$\frac{d}{n}S(a,b)^{n/(dp)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有奇异权函数的Brezis-Nirenberg型问题在$\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$空间中存在非平凡弱解？
• RQ2 能量泛函在何种情况下满足(PS)₇条件，从而可应用变分方法？
• RQ3 参数$a$、$b$、$c$和$p$在决定解的存在性或非存在性方面起何种作用？
• RQ4 当$a < 0$时，极值函数的对称性如何影响(PS)₇条件的有效性？
• RQ5 山路高度能否严格低于临界阈值$\frac{d}{n}S(a,b)^{n/(dp)}$，以确保存在非平凡临界点？

主要发现

• 当$1 < p < n$，$0 \leq a < \frac{n-p}{p}$，$a \leq b \leq a+1$，$q = p^*(a,b) = \frac{np}{n-dp}$且$d = 1+a-b \in (0,1]$，以及$c \leq \frac{n-p-ap}{p-1}$时，若$0 < \lambda < \lambda_1$，则在$\mathcal{D}_{a}^{1,p}(\Omega)$中存在非平凡解。
• 山路高度$\max_{t \geq 0} E_\lambda(t v_\varepsilon)$满足：当$\varepsilon$充分小时，有$g(t_\varepsilon) < \frac{d}{n} S(a,b)^{n/(dp)}$，从而确保(PS)₇条件成立。
• 当$p=2$，$\Omega = B_1(0)$，$a < \frac{n-2}{2}$，$a \leq b \leq a+1$，$c \leq n-2-2a$，且$0 < \lambda < \lambda_1$时，存在非平凡径向解于$\mathcal{D}_{a,R}^{1,2}(\Omega)$中。
• 当$a \geq 0$且$p=2$时，最佳常数$S(a,b)$等于径向最佳常数$S_R(a,b)$，意味着极值函数具有对称性。
• 当$a < 0$时，有$S(a,b) < S_R(a,b)$，表明对称性破缺，且(PS)₇条件的验证变得显著困难。
• 通过Pohozaev型恒等式推导出非存在性结果，表明在某些参数约束下不存在解。