[论文解读] The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given matching number

Ting Zhou, Zhen Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Graph theory and applications参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文确定了在所有阶为 $ n $ 且匹配数为 $ m $ 的图中，Sombor 指数最大的树与单环图，证明了极值图分别为 $ T_{n,m} $ 和 $ U_{n,m} $。当高阶顶点集中时，Sombor 指数达到最大，且通过基于度数的优化与图变换技术，完全刻画了极值结构。

ABSTRACT

In 2021, the Sombor index was introduced by Gutman, which is a new degree-based topological molecular descriptors. The Sombor index of a graph $G$ is defined as $SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$, where $d_G(v)$ is the degree of the vertex $v$ in $G$. Let $\mathscr{T}_{n,m}$ and $\mathscr{U}_{n,m}$ be the set of trees and unicyclic graphs on $n$ vertices with fixed matching number $m$, respectively. In this paper, the tree and the unicyclic graph with the maximum Sombor index are determined among $\mathscr{T}_{n,m}$ and $\mathscr{U}_{n,m}$, respectively.

研究动机与目标

• 确定在所有阶为 $ n $ 且匹配数为 $ m $ 的树中，Sombor 指数最大的树。
• 确定在所有阶为 $ n $ 且匹配数为 $ m $ 的单环图中，Sombor 指数最大的图。
• 刻画在给定约束下实现最大 Sombor 指数的极值图 $ T_{n,m} $ 和 $ U_{n,m} $。
• 为具有固定匹配数的树与单环图建立 Sombor 指数的紧上界。

提出的方法

• Sombor 指数定义为 $ SO(G) = \nsum_{uv ∈ E(G)} \sqrt{d_G(u)^2 + d_G(v)^2} $，是一种基于度数的拓扑描述符。
• 使用图变换技术通过将边重新定位以集中高阶顶点，从而增加 Sombor 指数。
• 证明依赖于引理 2.3，该引理表明，将边从低阶顶点移动到高阶顶点可增加 Sombor 指数。
• 对 $ n $ 和 $ m $ 使用归纳法证明极值性，且验证了 $ n = 2m $ 时的基例。
• 通过分析函数 $ h_1(x) = \sqrt{x^2 + a} - \sqrt{(x-1)^2 + a} $ 和 $ h_2(x) = \sqrt{x^2 + b^2} - \sqrt{x^2 + (b-1)^2} $ 的单调性来比较指数贡献。
• 通过分别在中心顶点或环上附加悬挂点与路径，构造极值图 $ T_{n,m} $ 和 $ U_{n,m} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $ n $ 个顶点和匹配数 $ m $ 的树中，哪一个能最大化 Sombor 指数？
• RQ2 具有 $ n $ 个顶点和匹配数 $ m $ 的单环图中，哪一个能最大化 Sombor 指数？
• RQ3 在固定匹配数约束下，Sombor 指数的极值图能否被完全刻画？
• RQ4 度数分布与边配置如何影响树与单环图中的 Sombor 指数？

主要发现

• 由星图 $ S_{n-m+1} $ 的非中心顶点附加 $ m-1 $ 个悬挂点构成的树 $ T_{n,m} $，在 $ \mathscr{T}_{n,m} $ 中的所有树中实现了最大的 Sombor 指数。
• 由 $ C_3 $ 的一个顶点附加 $ n-2m+1 $ 个悬挂点与 $ m-2 $ 条 $ P_2 $ 路构成的单环图 $ U_{n,m} $，在 $ \mathscr{U}_{n,m} $ 中的所有单环图中实现了最大的 Sombor 指数。
• 树的最大 Sombor 指数为 $ (n-2m+1)\sqrt{(n-m)^2 + 1} + (m-1)\sqrt{(n-m)^2 + 4} + (m-1)\sqrt{5} $，当且仅当 $ T \cong T_{n,m} $ 时取等。
• 单环图的最大 Sombor 指数为 $ m\sqrt{(n-m+1)^2 + 4} + (n-2m+1)\sqrt{(n-m+1)^2 + 1} + \sqrt{5}(m-2) + \sqrt{8} $，当且仅当 $ U \cong U_{n,m} $ 时取等。
• 当且仅当图同构于 $ T_{n,m} $ 或 $ U_{n,m} $ 时，上界取等，从而确认了其极值性。