[论文解读] The Sombor index of trees and unicyclic graphs with given maximum degree

Ting Zhou, Zhen Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Graph theory and applications被引用 11

一句话总结

本文表征了在阶数为 $n$ 且最大度为 $\Delta$ 的所有此类图中，Sombor 指数最小的树与单环图。通过结构图变换与基于度的优化，证明了极值图是 $T_{n,\Delta}$（一个中心顶点度为 $\Delta$ 的特定树）和 $U_{n,\Delta}$（一个含三元环且附着悬链的单环图），在给定的度约束下，这些图实现了最小的 Sombor 指数。

ABSTRACT

Let $d_G(v)$ be the degree of the vertex $v$ in a graph $G$. The Sombor index of $G$ is defined as $SO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{d^2_G(u)+d^2_G(v)}$, which is a new degree-based topological index introduced by Gutman. Let $\mathscr{T}_{n,Δ}$ and $\mathscr{U}_{n,Δ}$ be the set of trees and unicyclic graphs with $n$ vertices and maximum degree $Δ$, respectively. In this paper, the tree and the unicyclic graph with minimum Sombor index among $\mathscr{T}_{n,Δ}$ and $\mathscr{U}_{n,Δ}$ are characterized.

研究动机与目标

• 确定所有 $n$ 阶树中最大度为 $\Delta$ 的树中 Sombor 指数最小的树。
• 识别所有 $n$ 阶单环图中最大度为 $\Delta$ 的单环图中 Sombor 指数最小的图。
• 使用结构优化技术表征 $\mathscr{T}_{n,\Delta}$ 与 $\mathscr{U}_{n,\Delta}$ 中的极值图。
• 给出以 $n$ 和 $\Delta$ 表示的 Sombor 指数的显式下界，并说明等号成立的条件。

提出的方法

• 作者将 Sombor 指数定义为 $SO(G) = \sum_{uv \in E(G)} \sqrt{d_G(u)^2 + d_G(v)^2}$，这是一种基于度的拓扑指标。
• 他们采用图变换操作 $\mathbf{A}_1$ 与 $\mathbf{A}_2$，通过迭代修改图，降低 Sombor 指数，同时保持 $n$ 与 $\Delta$ 不变。
• 通过反证法证明结构命题：假设一个非极值图，可导出一种变换使 Sombor 指数严格减小。
• 通过分别在中心顶点或三元环上附加路径与悬链，构造出极值图 $T_{n,\Delta}$ 与 $U_{n,\Delta}$。
• 证明基于 $\Delta$ 相对于 $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ 与 $\lfloor (n+1)/2 \rfloor$ 的情况分析，以区分两种极值构型。
• 推导出 $SO(T_{n,\Delta})$ 与 $SO(U_{n,\Delta})$ 的显式公式，并通过直接计算加以验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有 $n$ 阶树中，最大度为 $\Delta$ 的树中，Sombor 指数最小的是哪一种？
• RQ2 在所有 $n$ 阶单环图中，最大度为 $\Delta$ 的单环图中，Sombor 指数最小的是哪一种？
• RQ3 Sombor 指数的极值结构如何依赖于 $\Delta$ 相对于 $n$ 的取值？
• RQ4 当 $\Delta = 3$ 或 $4$ 时，化学树与单环图的 Sombor 指数在何种条件下被最小化？

主要发现

• 当 $3 \leq \Delta \leq \lfloor (n-1)/2 \rfloor$ 时，树中 Sombor 指数最小的图是 $T_\Delta$，即具有 $\Delta$ 条长度至少为 3 的腿的蜘蛛图。
• 当 $\lfloor (n-1)/2 \rfloor < \Delta \leq n-2$ 时，树中 Sombor 指数最小的图是 $T_{n,\Delta}$，即一个中心顶点度为 $\Delta$ 且附着 $n-\Delta-1$ 条悬链的树。
• 当 $3 \leq \Delta \leq \lfloor (n+1)/2 \rfloor$ 时，单环图中 Sombor 指数最小的图是 $U\Delta$，即一个含三元环且在一个顶点上附着 $\Delta-2$ 条长度至少为 2 的路径的单环图。
• 当 $\lfloor (n+1)/2 \rfloor < \Delta \leq n-2$ 时，单环图中 Sombor 指数最小的图是 $U_{n,\Delta}$，即一个含三元环且在一个顶点上附着 $n-\Delta-1$ 条长度为 2 的路径的单环图。
• 图 $T_{n,\Delta}$ 的 Sombor 指数为 $\Delta\sqrt{\Delta^2 + 4} + \sqrt{8}(n - 2\Delta - 1) + \sqrt{5}\Delta$，当且仅当 $T \cong T_{n,\Delta}$ 时等号成立。
• 图 $U_{n,\Delta}$ 的 Sombor 指数为 $(n - \Delta + 1)\sqrt{\Delta^2 + 4} + (2\Delta - n - 1)\sqrt{\Delta^2 + 1} + \sqrt{5}(n - \Delta - 1) + \sqrt{8}$，当且仅当 $U \cong U_{n,\Delta}$ 时等号成立。