[论文解读] The space of $2$-generator postcritically bounded polynomial semigroups and random complex dynamics

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文研究具有有界平面前临界集的双生成多项式半群及其相关的随机复动力系统。研究结果表明，对于位于前临界有界集、双曲集与非连通 Julia 集轨迹交集中的参数，Julia 集要么满足开集条件（此时满足 Bowen 公式），要么两个生成元的 Julia 集重合；否则，在该参数邻域内，Julia 集的 Hausdorff 维数严格小于 2，且逃逸率函数表现出 Hölder 连续性，并在细小连通的 Julia 集上具有分形奇点。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of $2$-generator semigroups of polynomials with bounded planar postcritical set and associated random dynamics on the Riemann sphere. Also, we investigate the space ${\cal B}$ of such semigroups. We show that for a parameter $h$ in the intersection of ${\cal B}$, the hyperbolicity locus ${\cal H}$ and the closure of the disconnectedness locus (the space of parameters for which the Julia set is disconnected), the corresponding semigroup satisfies either the open set condition (and the Bowen's formula) or that the Julia sets of the two generators coincide. Also, we show that for such a parameter $h$, if the Julia sets of the two generators do not coincide, then there exists a neighborhood $U$ of $h$ in the full parameter space ${\cal P}^{2}$ such that for each parameter in $U$, the Hausdorff dimension of the Julia set of the corresponding semigroup is strictly less than 2. Moreover, we show that the intersection of the connectedness locus and ${\cal B}\cap {\cal H}$ has dense interior. By using the results on the semigroups corresponding to these parameters, we investigate the associated functions which give the probability of tending to $\infty$ (complex analogues of the devil's staircase or Lebesgue's singular functions) and complex analogues of the Takagi function.

研究动机与目标

• 分析具有有界平面前临界集的双生成多项式半群及其动力行为的空间。
• 研究复动力系统中由随机性引发的现象，特别是那些在确定性系统中不存在的现象。
• 研究由半群动力系统产生的魔鬼阶梯与 Takagi 函数的复分析类比。
• 刻画这些半群下 Julia 集的拓扑与测度结构。
• 确定 Julia 集的 Hausdorff 维数严格小于 2 的条件。

提出的方法

• 本研究采用黎曼球面上有限生成多项式半群的动力学，聚焦于通过 $ J(G) = \bigcup_{j=1}^m h_j^{-1}(J(G)) $ 表示的反向自相似性。
• 使用双生成前临界有界半群空间 $ \mathcal{B} $，并分析其与双曲轨迹 $ \mathcal{H} $ 及非连通性轨迹闭包的交集。
• 应用开集条件与 Bowen 公式，刻画当生成元的 Julia 集重合或满足分离条件时 Julia 集的结构。
• 分析逃逸率函数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $，利用遍历理论与转移算子技术，证明其在 Julia 集上的 Hölder 连续性与非恒定性。
• 证明依赖于 Hausdorff 度量下 Julia 集映射的连续性，以及 Fatou 集中球面距离与等连续性的性质。
• 利用转移算子与谱理论，证明逃逸率函数在某些 $ \alpha $ 下不可能属于 $ C^\alpha $，从而确认 Julia 集上存在分形奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双生成多项式半群的 Julia 集满足开集条件，或其生成元的 Julia 集重合？
• RQ2 逃逸率函数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 在 Julia 集上的行为如何？其正则性如何与动力系统相关？
• RQ3 当生成元的 Julia 集不重合时，是否存在参数邻域，使得 Julia 集的 Hausdorff 维数严格小于 2？
• RQ4 随机性引发的现象如何在这些半群的动力系统中出现？其与确定性动力系统有何不同？
• RQ5 此设定下，魔鬼阶梯与 Takagi 函数的复分析类比具有何种性质？

主要发现

• 对于属于 $ \mathcal{B} $、$ \mathcal{H} $ 与非连通性轨迹闭包交集的参数 $ h $，Julia 集要么满足开集条件（因此 Bowen 公式成立），要么两个生成元的 Julia 集重合。
• 若生成元的 Julia 集不重合，则存在 $ h $ 的邻域 $ U $，使得 $ U $ 中所有参数的 Julia 集的 Hausdorff 维数严格小于 2。
• 连通性轨迹与 $ \mathcal{B} \cap \mathcal{H} $ 的交集在 $ \mathcal{B} \cap \mathcal{H} $ 中具有稠密内部。
• 逃逸率函数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 在 $ \hat{\mathbb{C}} $ 上是 Hölder 连续的，且在点 $ z_0 \in J(g_j) $ 处的 Hölder 指数上界为 $ -\frac{\log p_j}{\log \deg g_j} $。
• 函数 $ T(g_1,g_2,p,\cdot) $ 在 $ \partial F_\infty(G) $ 或 $ \partial \hat{K}(G) $ 的任意点邻域内均不为常数，表明 Julia 集上存在分形奇点。
• 逃逸率函数不可能属于 $ C^\alpha $（当 $ \alpha > -\frac{\log p_j}{\log \deg g_j} $ 时），从而确认 Julia 集上存在非光滑、奇异的行为。