[论文解读] The space of associated metrics on a symplectic manifold

N. K. Smolentsev|ArXiv.org|Aug 16, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文研究辛流形上黎曼度量的空间，重点关注微分同胚群作用下商空间的曲率。通过水平提升推导出商空间截面曲率的公式，并引入一个新颖的曲率修正项，涉及由度量变化导出的对称双线性形式的散度。

ABSTRACT

The spaces of Riemannian metrics on a closed manifold $M$ are studied. On the space ${\mathcal M}$ of all Riemannian metrics on $M$ the various weak Riemannian structures are defined and the corresponding connections are studied. The space ${\mathcal AM}$ of associated metrics on a symplectic manifold $M,ω$ is considered in more detail. A natural parametrization of the space ${\mathcal AM}$ is defined. It is shown, that ${\mathcal AM}$ is a complex manifold. A curvature of the space ${\mathcal AM}$ and quotient space ${\mathcal AM}/{\mathcal D}_ω$ is found. The finite dimensionality of the space of associated metrics of a constant scalar curvature with Hermitian Ricci tensor is shown.

研究动机与目标

• 理解辛流形上黎曼度量空间的几何结构。
• 分析度量模微分同胚群作用下商空间的曲率性质。
• 推导出商空间截面曲率的显式公式，以水平向量场和度量变化表示。
• 表征散度算子与能量泛函在曲率计算中的作用。
• 通过涉及对称双线性形式散度的修正项，建立全度量空间与商空间曲率之间的关系。

提出的方法

• 定义一个微分算子，将黎曼度量映射到其无 torsion 的 Levi-Civita 联络，以捕捉 Christoffel 符号的变化。
• 利用度量与辛结构，对对称 2-张量进行收缩与散度运算。
• 定义一个新的双线性运算 {a, b}，结合张量场的散度与收缩，以编码曲率修正。
• 使用从商空间到全度量空间的向量场的水平提升，计算基空间中的曲率。
• 通过能量算子 Eg 与度量变化的辛对偶的散度，对垂直子空间进行正交投影。
• 通过添加一个涉及 {a, b} 散度的积分的修正项，推导出商空间的截面曲率，该积分由能量泛函加权。

实验结果

研究问题

• RQ1 模微分同胚群的黎曼度量商空间的截面曲率如何与全度量空间的曲率相关？
• RQ2 双线性形式 {a, b} 的散度在修正商空间曲率中起什么作用？
• RQ3 度量空间上的水平向量场如何提升到全空间，且其李括张如何投影到垂直子空间？
• RQ4 算子 Eg 的几何意义是什么，其与散度和辛结构的相互作用如何？
• RQ5 商空间的曲率能否用能量泛函与度量变化等内在几何量表示？

主要发现

• 水平向量场的李括张通过公式 [a, b]_V = -α_g J grad E_g^{-1} div J {a, b} 投影到垂直子空间，将曲率与能量泛函联系起来。
• 商空间的截面曲率为 K(ā, b̄) = K(a, b) + (3/4) ||a ∧ b||^2 ∫_M (div J {a, b})(E_g^{-1}(div J {a, b})) dμ_g，显示出依赖于 {a, b} 散度的修正项。
• 曲率公式的修正项涉及对双线性形式 {a, b} 的散度应用能量算子的逆，表明存在非平凡的几何相互作用。
• 在度量 g 处的垂直子空间由形如 h = α_g J grad f 的 2-形式组成，其中 f 为哈密顿函数，且该子空间的投影通过 Eg 与散度算子表示。
• 该曲率公式在商空间的正则点处成立，确保在群作用下几何结构定义良好。
• 推导精确建立了全度量空间与商空间曲率之间的联系，其媒介为对称双线性形式 {a, b} 的散度。