[论文解读] The space of asymptotically conical self-expanders of mean curvature flow

Jacob Bernstein, Lu Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文证明了在平均曲率流下，渐近锥形自膨胀体的空间构成一个光滑的巴拿赫流形，其模型空间为在渐近锥的截面（link）上的 Hölder 连续函数。核心贡献是通过在具有受控无穷远处行为的嵌入参数化空间上应用弗雷德霍姆理论与隐函数定理，证明了自膨胀体的典型非退化性——即大多数此类自膨胀体不具有保持渐近锥的非平凡法向 Jacobi 场。

ABSTRACT

We show that the space of asymptotically conical self-expanders of the mean curvature flow is a smooth Banach manifold. An immediate consequence is that non-degenerate self-expanders -- that is, those self-expanders that admit no non-trivial normal Jacobi fields that fix the asymptotic cone -- are generic in a certain sense.

研究动机与目标

• 理解平均曲率流中渐近锥形自膨胀体空间的全局几何结构。
• 证明在适当的正则性与渐近条件下，该空间是一个光滑巴拿赫流形。
• 确立非退化自膨胀体——即不具有保持渐近锥的非平凡 Jacobi 场的自膨胀体——在拓扑意义上是典型的。
• 通过具有受控无穷远处行为的渐近锥形嵌入，提供自膨胀体的参数化框架。
• 通过无穷远处的迹映射分析自膨胀体方程线性化的弗雷德霍姆性质。

提出的方法

• 定义空间 $\mathcal{ACH}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$，即固定超曲面 $\Gamma$ 到 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的 $C^{k,\alpha}_*$-渐近锥形嵌入空间，满足无穷远处的缩放条件。
• 在嵌入上引入等价关系，识别出诱导相同渐近锥参数化的嵌入，从而得到自膨胀体的商空间 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$。
• 构造一个投影映射 $\Pi$，从 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 到 $C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$，将无穷远处的渐近迹分配给每个自膨胀体。
• 应用隐函数定理与巴拿赫空间理论，证明 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 是一个光滑巴拿赫流形，其模型空间为 $C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$。
• 分析迹映射 $\Pi$ 的线性化 $D\Pi$，并证明其核对应于保持渐近锥的法向 Jacobi 场。
• 利用斯马莱的横截性定理，推导出自膨胀体中退化集合是无处稠密的，从而得出典型非退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的正则性与渐近条件下，渐近锥形自膨胀体的空间是否构成一个光滑的无限维流形？
• RQ2 将每个自膨胀体的渐近链参数化映射到无穷远处的迹映射 $\Pi$ 的弗雷德霍姆指标是多少？
• RQ3 自膨胀体在多大程度上是非退化的——即它们是否允许保持渐近锥的非平凡法向 Jacobi 场？
• RQ4 渐近锥的参数化在多大程度上影响了自膨胀体空间的结构？
• RQ5 能否将典型自膨胀体表征为在无穷远处线性化算子核平凡的那些？

主要发现

• 渐近锥形自膨胀体空间 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 是一个光滑巴拿赫流形，其模型空间为 $C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$，并具有可数个坐标域的覆盖。
• 投影映射 $\Pi: \mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma) \to C^{k,\alpha}(\mathcal{L}(\Gamma); \mathbb{R}^{n+1})$ 是一个光滑的弗雷德霍姆映射，其指标为零。
• 空间 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 的每个局部坐标图可表示为在 $D\Pi$ 的核与补空间的分解上定义的图映射 $(z, \kappa) \mapsto (z, \psi_i(z, \kappa))$。
• $\Pi$ 在任意点 $[\mathbf{f}]$ 处的线性化 $D\Pi$ 的核同构于在 $\Sigma = \mathbf{f}(\Gamma)$ 上保持渐近锥的法向 Jacobi 场空间。
• 在 $\mathcal{ACE}^{k,\alpha}_n(\Gamma)$ 中，具有非平凡保持锥的 Jacobi 场的自膨胀体集合是无处稠密的，这意味着非退化自膨胀体是典型的。
• 对于任意典型的 $C^{k,\alpha}$-正则锥 $\mathcal{C}$，所有渐近于 $\mathcal{C}$ 的自膨胀体都是非退化的，即它们不具有保持锥的非平凡法向 Jacobi 场。