[论文解读] The space of persistence diagrams fails to have Yu's property A

G. Bell, Austin Lawson+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明了在Wasserstein度量下，持久图（persistence diagrams）的空间不具有Yu的性质A，这是一种粗几何条件，意味着可等距嵌入到Hilbert空间中。作者引入了$k$-棱柱（$k$-prisms）作为性质A的结构性障碍，并证明持久图中包含此类结构，从而排除了该设定下的性质A。

ABSTRACT

We define a simple obstruction to Yu's property A that we call $k$-prisms. This structure allows for a straightforward proof that the space of persistence diagrams fails to have property A in a Wasserstein metric.

研究动机与目标

• 研究在自然度量（如Wasserstein度量）下持久图空间的粗几何性质。
• 确定持久图空间是否满足Yu的性质A，该性质与Hilbert空间中的统一嵌入相关。
• 建立一种新的、简单的性质A障碍——$k$-棱柱，适用于具有特定等距嵌入模式的度量空间。
• 证明持久图包含$k$-棱柱，从而证明其在Wasserstein度量下不可能具有性质A。
• 阐明该结果对拓扑数据分析中核方法的影响，其中Hilbert空间嵌入被广泛使用。

提出的方法

• 引入$k$-棱柱的概念：一种度量空间结构，其中有限集$F$具有不相交的等距像$T(F)$，使得$F$中点之间的距离被保持，且$x \in F$到$T(y)$的距离恰好为$k + d(x,y)$。
• 证明任何具有$k$-棱柱的度量空间都包含Nowak反例空间$C_k$的等距拷贝，而该空间不具有性质A。
• 利用引理2.5证明$k$-棱柱意味着存在$\{k, 2k, 3k, \dots\}$和$\{0,k\}^n$（对任意$n$）的等距拷贝。
• 通过$\mathbb{R}^2$上的$\ell^\infty$-范数定义持久图上的图度量$\varrho$，并进行调整，使得$\varrho(p, \Delta_{\mathbb{R}}) = k$（当点$p$到对角线的距离为$k$时）。
• 构造一个平移映射$T(D) = D + \mathbbm{1}_p$，其中$p$为一个非对角线点且满足$\varrho(p, \Delta_{\mathbb{R}}) = k$，证明该映射满足$k$-棱柱条件。
• 验证图的Wasserstein $q$-度量可表示为$W^q = (W_\varrho)^{1/q}$，且集合$\{(x, x + k^{1/q})\}$无界，从而确保$k$-图可实现性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathbb{R}$上的持久图空间中，若采用Wasserstein $q$-度量（$0 < q < \infty$），是否具有Yu的性质A？
• RQ2 能否将度量空间中$k$-棱柱的存在性作为性质A的一般障碍？
• RQ3 在瓶颈距离下，持久图空间是否具有无限渐近维数？
• RQ4 尽管性质A不成立，持久图空间是否仍存在统一嵌入到Hilbert空间中的可能？
• RQ5 $k$-棱柱障碍能否推广到其他持久图度量（如瓶颈距离）？

主要发现

• 在$\mathbb{R}$上，持久图空间在Wasserstein $q$-度量下对任意$q > 0$均不具有Yu的性质A。
• 作者引入了$k$-棱柱作为性质A的新且简单的障碍，其蕴含了Nowak反例空间$C_k$的等距拷贝的存在性。
• 持久图对任意$k > 0$均包含$k$-棱柱，通过为满足$\varrho(p, \Delta_{\mathbb{R}}) = k$的合适点$p$构造平移映射$T(D) = D + \mathbbm{1}_p$得以证明。
• 该构造确保$W_\varrho(D, T(D')) = W_\varrho(D, D') + k$，满足$k$-棱柱条件（3），同时保持等距性和不相交性。
• 空间$C_k$被等距嵌入到持久图空间中，由于$C_k$不具有性质A，因此持久图空间也不具有该性质。
• 该结果并未排除统一嵌入到Hilbert空间的可能性，因此尽管性质A不成立，此类嵌入是否存在仍为开放问题。