[论文解读] The space of rational maps on P^1

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 20

一句话总结

本文证明了在 $\mathbb{Z}$ 上，$\mathbb{P}^1$ 上的次数为 $d$ 的有理映射的模空间 $\mathcal{M}_d$ 存在且为仿射整概形，并证明了 $\mathcal{M}_2 \cong \mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$，且其通过几何不变量理论的自然紧化与 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ 同构。结果推广了 Milnor 在 $\mathbb{C}$ 上的结果，为研究 $\mathbb{P}^1$ 上的动力系统提供了基础性的算术-几何框架。主要贡献在于在 $\mathbb{Z}$ 上构造并分类了模空间 $\mathcal{M}_d$ 作为概形，且对 $d=2$ 给出了显式计算。论文利用 $\mathrm{SL}_2$ 通过共轭作用于有理映射，并应用几何不变量理论构造商空间。

ABSTRACT

The set of morphisms $\f:\PP^1 o\PP^1$ of degree $d$ is parametrized by an affine open subset $\Rat_d$ of $\PP^{2d+1}$. We consider the action of~$\SL_2$ on $\Rat_d$ induced by the {\it conjugation action\/} of $\SL_2$ on rational maps; that is, $f\in\SL_2$ acts on~$\f$ via $\f^f=f^{-1}\circ\f\circ f$. The quotient space $\M_d=\Rat_d/\SL_2$ arises very naturally in the study of discrete dynamical systems on~$\PP^1$. We prove that~$\M_d$ exists as an affine integral scheme over~$\ZZ$, that $\M_2$ is isomorphic to~$Å^2_\ZZ$, and that the natural completion of~$\M_2$ obtained using geometric invariant theory is isomorphic to~$\PP^2_\ZZ$. These results, which generalize results of Milnor over~$\CC$, should be useful for studying the arithmetic properties of dynamical systems.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{Z}$ 上构造 $\mathbb{P}^1$ 上次数为 $d$ 的有理映射的模空间 $\mathcal{M}_d$ 作为概形，推广在 $\mathbb{C}$ 上的经典结果。
• 证明 $\mathcal{M}_2$ 同构于 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$，从而对模 $\mathrm{SL}_2$ 共轭下的次数为 2 的有理映射空间给出完整的算术描述。
• 证明通过几何不变量理论得到的 $\mathcal{M}_2$ 的自然紧化同构于 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$，从而实现模理论意义上的完整紧化。
• 建立商空间 $\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ 作为 $\mathbb{Z}$ 上的仿射整概形的存在性，从而为 $\mathbb{P}^1$ 上动力系统的研究提供算术基础。

提出的方法

• 将次数为 $d$ 的有理映射空间 $\mathrm{Rat}_d$ 参数化为 $\mathbb{P}^{2d+1}_{\mathbb{Z}}$ 中结果式超曲面的补集，由 $\mathrm{Res}(F_a, F_b) \neq 0$ 定义。
• 通过共轭定义 $\mathrm{SL}_2$ 在 $\mathrm{Rat}_d$ 上的作用：$\phi^f = f^{-1} \circ \phi \circ f$，该作用保持次数，并在有理映射上诱导等价关系。
• 使用几何不变量理论（GIT）构造商空间 $\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$，证明其作为 $\mathbb{Z}$ 上的仿射整概形存在。
• 对 $d=2$，显式计算 $\mathrm{SL}_2$-作用的不变量 $\sigma_1, \sigma_2$，通过到 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ 的双有理映射证明 $\mathcal{M}_2 \cong \mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$。
• 利用离散赋值环理论和专门化技术，将 $\mathcal{M}_2^s$ 到 $\mathbb{P}^2$ 的双有理映射延拓为态射，证明其为同构。
• 应用有限性与正规性准则（例如 [3, II.4.8(e)] 和 [6, I.1.10]），得出结论：在整概形之间，有限、双有理、正规的态射必为同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 商空间 $\mathcal{M}_d = \mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$ 是否作为 $\mathbb{Z}$ 上的良好定义的概形存在？若存在，其几何与算术性质为何？
• RQ2 $\mathcal{M}_2$ 是否同构于 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$？其通过 GIT 的自然紧化是否同构于 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$？
• RQ3 从紧化模空间 $\mathcal{M}_2^s$ 到 $\mathbb{P}^2$ 的双有理映射是否可延拓为态射？是否为同构？
• RQ4 $\mathrm{SL}_2$-共轭作用如何与 $\mathbb{P}^1$ 上动力系统的模相关？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}$ 上，$\mathbb{P}^1$ 上次数为 $d$ 的有理映射的模空间 $\mathcal{M}_d$ 存在且为仿射整概形，其构造为商空间 $\mathrm{Rat}_d / \mathrm{SL}_2$。
• 对 $d=2$，模空间 $\mathcal{M}_2$ 同构于 $\mathbb{A}^2_{\mathbb{Z}}$，通过不变量 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 显式构造。
• 通过几何不变量理论得到的 $\mathcal{M}_2$ 的自然紧化同构于 $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$，从而在无穷远处补全了模空间。
• 双有理映射 $\sigma: \mathcal{M}_2^s \to \mathbb{P}^2$ 是同构，通过证明其为有限、正规、准有限态射，且目标为正规概形，且在几何点上为双射。
• 该构造推广了 Milnor 在 $\mathbb{C}$ 上的结果至 $\mathbb{Z}$ 上的算术设定，为数论与算术动力系统研究提供了应用基础。
• 证明依赖于使用离散赋值环的专门化技术，以及不变量模素数约化下的行为，确保了紧化的良定义性。