[论文解读] The space of tempered distributions as a k-space

Kei Harada, Hayato Saigo|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文证明了配备强拓扑的温和分布空间 𝒮′ 是一个 k-空间，从而为无穷维调和分析提供了统一的拓扑框架。通过利用 k-空间结构，作者通过特征函数证明了概率测度弱收敛的关键结果，包括使用无穷维特征函数对白噪声测度重新证明多斯克尔不变性原理。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the roles of compact sets in the space of tempered distributions $\mathscr{S}^{\prime}$. The key notion is "k-spaces", which constitute a fairly general class of topological spaces. In a k-space, the system of compact sets controls continuous functions and Borel measures. Focusing on the k-space structure of $\mathscr{S}^{\prime}$, we prove some theorems which seem to be fundamental for infinite dimensional harmonic analysis from a new and unified view point. For example, the invariance principle of Donsker for the white noise measure is shown in terms of infinite dimansional characteristic functions.

研究动机与目标

• 使用 k-空间的拓扑概念研究紧致集在温和分布空间 𝒮′ 中的作用。
• 建立 𝒮′ 配备强拓扑时为 k-空间，从而为无穷维调和分析提供统一框架。
• 将 k-空间结构应用于证明 𝒮′ 上概率测度弱收敛的基本结果。
• 通过无穷维特征函数重新推导白噪声测度的多斯克尔不变性原理。

提出的方法

• 采用 k-空间的定义：一个拓扑空间，其中集合为闭集当且仅当其与每个紧致集的交集为闭集。
• 应用希尔伯特空间及其归纳极限（如 𝒮′）为 k-空间的事实，并使用 𝒮′ 上的强拓扑。
• 利用从对偶索伯列夫空间 H_{-n} 到 H_{-n-2} 的嵌入映射的紧致性，构造零点的邻域。
• 使用归纳极限拓扑证明：若对每个紧致集 K ⊂ 𝒮′，有 F ∩ K 为闭集，则 F ⊂ 𝒮′ 为闭集。
• 应用普罗霍罗夫定理和特征函数的等连续性，以刻画 𝒮′ 上测度的弱收敛性。
• 使用米诺斯定理和富比尼定理，通过正定连续函数将特征函数与测度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强拓扑下，温和分布空间 𝒮′ 是否为 k-空间，其拓扑结构有何含义？
• RQ2 𝒮′ 的 k-空间性质如何实现对 𝒮′ 上概率测度弱收敛的新表征？
• RQ3 能否在无穷维设定下，通过特征函数重新推导白噪声测度的多斯克尔不变性原理？
• RQ4 特征函数在零点的等连续性与 𝒮′ 上测度的紧致性之间有何关系？

主要发现

• 配备强拓扑的温和分布空间 𝒮′ 是一个 k-空间，其证明基于希尔伯特空间 H_{-n} 的归纳极限结构，以及连续嵌入下有界凸集像的闭性。
• 子集 F ⊂ 𝒮′ 为闭集当且仅当对每个紧致集 K ⊂ 𝒮′，有 F ∩ K 为紧致集，从而确认了其 k-空间性质。
• 𝒮′ 上概率测度序列 {μ_n} 的弱收敛性等价于其特征函数 {ŵ(φ)} 对所有 φ ∈ 𝒮 点态收敛至 ŵ(φ)。
• 由缩放过程 X^{(n)} 诱导的测度序列 P_n 弱收敛于白噪声测度，其特征函数收敛于 exp(−½∫φ(t)²dt)。
• 特征函数在零点的等连续性等价于序列 {μ_n} 在 𝒮′ 上的统一紧致性与相对紧致性。
• 通过 k-空间结构与无穷维特征函数，重新证明了白噪声测度的多斯克尔不变性原理。