[论文解读] The Space-Time Cost of Purifying Quantum Computations

Mark Zhandry|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文確立了量子計算中的一個基本權衡：任何能消除量子算法中間測量的黑箱轉換，都必須在時間或空間複雜度上承受顯著的膨脹。作者證明，對於具有小但超對數空間的算法，這種膨脹是本質上不可避免的，從而解決了關於無測量量子計算中時間與空間轉換是否能同時高效的一個開放問題。

ABSTRACT

General quantum computation consists of unitary operations and also measurements. It is well known that intermediate quantum measurements can be deferred to the end of the computation, resulting in an equivalent purely unitary computation. While time efficient, this transformation blows up the space to linear in the running time, which could be super-polynomial for low-space algorithms. Fefferman and Remscrim (STOC'21) and Girish, Raz and Zhan (ICALP'21) show different transformations which are space efficient, but blow up the running time by a factor that is exponential in the space. This leaves the case of algorithms with small-but-super-logarithmic space as incurring a large blowup in either time or space complexity. We show that such a blowup is likely inherent, demonstrating that any "black-box" transformation which removes intermediate measurements must significantly blow up either space or time.

研究动机与目标

• 解決一個開放問題：在不導致時間或空間複雜度顯著增加的情況下，能否從量子算法中移除中間測量？
• 研究將帶有中間測量的量子電路轉換為純酉電路的黑箱轉換的限制。
• 確立對於具有小但超對數空間複雜度的算法，任何此類轉換都必須在時間或空間上承受顯著膨脹。
• 形式化並分析「保跡測量」（保留混合態）與標準測量（坍縮態並允許經典資訊處理）之間的區別。

提出的方法

• 形式化透過保留計算行為的黑箱轉換來移除中間測量的問題。
• 提出從具有結構化 oracle 的量子查詢問題到無測量酉計算的歸約，使用精心構建的 oracle OΨ∗,o∗。
• 採用技術性引理（引理 6.4），表明對獨立同分佈變數的聯合洩露會保持近似分佈性質。
• 利用 Pinsker 不等式與 Jensen 不等式來量化不同 oracle 模型之間成功機率的差異。
• 構建一個酉電路 B 來模擬測量移除轉換，並在特定條件下證明其成功機率下限為 7/12。
• 將歸約與已知下界（引理 5.2）結合，排除高效測量移除轉換的存在，從而證明主要障礙結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能以同時保持時間與空間效率的方式，從量子算法中移除中間測量？
• RQ2 是否存在一種黑箱轉換，能在不導致時間或空間複雜度指數膨脹的情況下消除中間測量？
• RQ3 將帶有中間測量的量子算法轉換為純酉形式時，時間與空間膨脹之間的根本權衡是什麼？
• RQ4 測量模型——特別是保跡測量與標準（非保跡）測量——如何影響測量移除的可行性？
• RQ5 當算法依賴於測量產生的經典資訊時，測量移除是否能保持其成功機率？

主要发现

• 任何能從量子算法中移除中間測量的黑箱轉換，都必須在時間或空間複雜度上承受超多項式膨脹，其膨脹程度與原始空間複雜度的超多項式函數成正比。
• 對於空間複雜度為 S、時間複雜度為 T 的算法，其中 S 為小但超對數（例如 S = ω(log n)），此類轉換必然導致時間或空間膨脹，且膨脹程度為 S 的指數級。
• 本文證明，Fefferman 和 Remscrim（2021）以及 Girish、Raz 和 Zhan（2021）的結果在黑箱設定下是最優的，他們以指數時間膨脹換取空間最優性。
• 作者指出，Girish 和 Raz（2022）所使用的模型僅允許保跡測量（無經典輸出，無態重置），不足以捕捉依賴於經典測量結果的標準量子算法。
• 構建了一個歸約，表明若存在一種時間與空間都高效的測量移除轉換，將與已知的量子查詢複雜度下界產生矛盾。
• 結果顯示，無測量電路 B 的成功機率至少為 7/12，此結果足夠在標準假設下排除此類轉換的存在。