[论文解读] The Sparse Awakens: Streaming Algorithms for Matching Size Estimation in Sparse Graphs

Graham Cormode, Hossein Jowhari+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文提出了针对有界泛森林性（arboricity）稀疏图的最大匹配大小估计的改进流式算法。通过引入新颖的图结构表征，利用边的排序方式与度分布，实现了插入仅流式（insert-only streams）下的 O(c log² n) 空间复杂度，以及动态流式（dynamic streams）下的 ˜O(c¹⁰ᐟ³n²ᐟ³) 空间复杂度，显著优于先前工作，同时保持了 O(c)-近似保证。

ABSTRACT

Estimating the size of the maximum matching is a canonical problem in graph algorithms, and one that has attracted extensive study over a range of different computational models. We present improved streaming algorithms for approximating the size of maximum matching with sparse (bounded arboricity) graphs. * Insert-Only Streams: We present a one-pass algorithm that takes O(c log^2 n) space and approximates the size of the maximum matching in graphs with arboricity c within a factor of O(c). This improves significantly on the state-of-the-art O~(cn^{2/3})-space streaming algorithms. * Dynamic Streams: Given a dynamic graph stream (i.e., inserts and deletes) of edges of an underlying c-bounded arboricity graph, we present a one-pass algorithm that uses space O~(c^{10/3}n^{2/3}) and returns an O(c)-estimator for the size of the maximum matching. This algorithm improves the state-of-the-art O~(cn^{4/5})-space algorithms, where the O~(.) notation hides logarithmic in $n$ dependencies. In contrast to the previous works, our results take more advantage of the streaming access to the input and characterize the matching size based on the ordering of the edges in the stream in addition to the degree distributions and structural properties of the sparse graphs.

研究动机与目标

• 设计用于估计有界泛森林性图中最大匹配大小的高空间效率流式算法。
• 克服先前方法在对抗性顺序流中需要 Ω(n²ᐟ³) 空间的局限性。
• 将结果扩展至动态流，支持边的插入与删除，且删除次数受控。
• 设计利用边排序与度结构的图表征，以获得更优的空间界。
• 在插入仅流中实现对数多项式空间复杂度，优于先前的次线性界。

提出的方法

• 提出一种基于诱导子图中高阶顶点与非孤立低阶顶点的新表征方式，用于刻画最大匹配大小。
• 通过随机采样顶点并维护邻居计数器，估计非孤立低阶顶点的数量。
• 引入多级采样策略，结合自适应阈值，以次线性空间近似边数。
• 采用 α-良好测试（α-good tests）识别可能对匹配大小有贡献的边，利用概率界控制误报率。
• 设计一种并行流式框架，采用多种采样速率，在对数多项式空间内实现高概率近似。
• 通过限制删除次数并维护更新过程中的度计数器，将算法适配至动态流。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对抗性顺序流中，能否将有界泛森林性图的流式匹配大小估计空间复杂度降低至 O(n²ᐟ³) 以下？
• RQ2 在边删除存在的情况下，能否实现子线性空间复杂度的动态流式匹配大小估计算法，并保持 O(c)-近似？
• RQ3 如何利用边排序与度结构设计更高效的空间流式算法？
• RQ4 是否可能在保持常数因子近似的同时，实现插入仅流中的对数多项式空间复杂度？
• RQ5 何种新型图表征可使流式环境下的空间界更紧致？

主要发现

• 本文在插入仅流中实现了 O(c log² n) 空间复杂度与 O(c)-近似，优于先前的 ˜O(cn²ᐟ³) 上界。
• 对于具有 O(cn) 次边删除的动态流，算法使用 ˜O(c¹⁰ᐟ³n²ᐟ³) 空间，并提供 O(c)-近似。
• 所提出的基于高阶顶点与非孤立低阶顶点的表征方式，通过避免直接采样边，实现了空间压缩。
• 具有自适应阈值的多级采样算法，在插入仅流中实现了 (1+ε)-近似，且空间复杂度为对数多项式。
• 算法在至少 1−δ 的概率下保持高精度，空间复杂度为 O(c/ε² log(1/ε) log cn log n)。
• 理论分析证实误差概率有界，且在给定假设下空间复杂度为紧致界。