[论文解读] The Sparse Grids Matlab kit -- a Matlab implementation of sparse grids for high-dimensional function approximation and uncertainty quantification

Chiara Piazzola, Lorenzo Tamellini|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2022

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用 11

一句话总结

Sparse Grids Matlab Kit (SGMK) 是一个轻量级、高级别的 Matlab 软件包，用于高维函数逼近和不确定性量化（UQ），实现了稀疏网格的组合技术形式。它通过自适应网格实现高效的代理建模，支持广义多项式混沌展开（PCE）和 Sobol 敏感性指标，并通过 UM-Bridge 协议与外部模拟器集成，适用于包含数百个随机变量的原型设计和真实 UQ 应用。

ABSTRACT

The Sparse Grids Matlab Kit provides a Matlab implementation of sparse grids, and can be used for approximating high-dimensional functions and, in particular, for surrogate-model-based uncertainty quantification. It is lightweight, high-level and easy to use, good for quick prototyping and teaching; however, it is equipped with some features that allow its use also in realistic applications. The goal of this paper is to provide an overview of the data structure and of the mathematical aspects forming the basis of the software, as well as comparing the current release of our package to similar available software.

研究动机与目标

• 为高维函数逼近和不确定性量化（UQ）提供一个用户友好、高级别的 Matlab 稀疏网格实现。
• 在保持支持包含数百个随机变量的真实世界 UQ 应用能力的同时，支持快速原型设计和教学使用。
• 实现关键的 UQ 特性，如广义多项式混沌展开（PCE）、Sobol 敏感性指标，以及用于贝叶斯推断和敏感性分析的梯度/海塞矩阵计算。
• 通过评估重用、并行化以及通过 UM-Bridge 协议与外部求解器集成，实现对昂贵模拟模型的高效评估。
• 在功能、可维护性和可用性方面，将 SGMK 与现有的稀疏网格和 UQ 软件进行比较和定位。

提出的方法

• SGMK 实现了稀疏网格的组合技术形式，使用分层基函数和嵌套或非嵌套节点，用于高维插值。
• 通过维度自适应算法支持自适应加密，包括一种新颖的缓冲策略，以改善高维问题中的工作负载分配。
• 该软件包为常见概率分布（如均匀、正态、伽马、贝塔等）提供内置的配点，以支持基于 PCE 的 UQ。
• 它计算代理模型的梯度和海塞矩阵，支持局部敏感性分析和最大后验估计等优化任务。
• 该软件与 Matlab 的 Parallel Toolbox 集成，支持评估重用和通过 UM-Bridge 协议调用外部模拟器，以与 C++/Python 求解器对接。
• 它包含全面的测试套件、教程和完整文档，2023 版本中注释行数超过 5,300 行。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在像 Matlab 这样的高级语言中高效实现稀疏网格，以同时支持教学使用和生产级的 UQ 工作流？
• RQ2 与现有的稀疏网格和 UQ 软件相比，SGMK 在 UQ 功能和自适应性方面提供了哪些独特功能？
• RQ3 评估重用、并行化和外部模拟器集成在多大程度上能提升高维问题中代理建模的性能？
• RQ4 SGMK 中的缓冲策略在维度自适应稀疏网格构建中如何提升计算效率？
• RQ5 在 UQ 任务中，SGMK 如何优于或补充 Tasmanian、SG++、Spinterp 和 Dakota 等其他软件？

主要发现

• SGMK 是目前功能最丰富的基于 Matlab 的 UQ 工具，提供了独特的维度缓冲支持、广义多项式混沌展开（PCE）和 Sobol 敏感性指标。
• 该软件包能够高效计算梯度和海塞矩阵，这对贝叶斯反演和敏感性分析至关重要。
• 评估重用和并行化能力显著降低了昂贵模拟模型评估的计算开销。
• 通过与 UM-Bridge 协议的集成，可无缝对接外部模拟器，显著提升了在复杂 UQ 工作流中的可用性。
• SGMK 在功能和可维护性方面优于 Spinterp，且提供的 UQ 专用工具多于 SG++ 和 Tasmanian，尽管 Tasmanian 支持更广泛的基函数。
• 该软件已在多个研究项目中成功应用，包括涉及数百个随机变量的项目，并被用于学术出版物和教科书。