[论文解读] The spatially inhomogeneous Hopf bifurcation induced by memory delay in a memory-based diffusion system

Yongli Song, Yahong Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 28被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种新颖的正规型算法，用于分析具有基于记忆的扩散项的反应-扩散系统中由延迟引起的非均匀空间Hopf分岔，其中延迟出现在非线性扩散项中。该方法可确定一阶和二阶Hopf分岔的方向与稳定性，数值结果证实了稳定的空间非均匀周期解的存在，包括从不稳定的二阶模式向稳定的的一阶模式的转变。

ABSTRACT

The memory-based diffusion systems have wide applications in practice. Hopf bifurcations are observed from such systems. To meet the demand for computing the normal forms of the Hopf bifurcations of such systems, we develop an effective new algorithm where the memory delay is treated as the perturbation parameter. To illustrate the effectiveness of the algorithm, we consider a diffusive predator-prey system with memory-based diffusion and Holling type-II functional response. By employing this newly developed procedure, we investigate the direction and stability of the delay-induced mode-1 and mode-2 Hopf bifurcations. Numerical simulations confirm our theoretical findings, that is the existence of stable spatially inhomogeneous periodic solutions with mode-1 and mode-2 spatial patterns, and the transition from the unstable mode-2 spatially inhomogeneous periodic solution to the stable mode-1 spatially inhomogeneous periodic solution.

研究动机与目标

• 解决反应-扩散系统中非线性基于记忆的扩散与扩散项中存在延迟时正规型计算方法的缺乏问题。
• 开发一种系统性算法，以分析由记忆延迟引起的非均匀空间Hopf分岔。
• 将该算法应用于具有Holling型II功能性反应和基于记忆的扩散的扩散型捕食者-猎物模型。
• 确定由延迟引起的非均匀空间一阶和二阶Hopf分岔的方向与稳定性。
• 通过数值方法验证理论结果，包括非均匀空间周期解的存在性及其在不同模式间的转变。

提出的方法

• 作者将现有正规型算法推广至处理非线性扩散项及扩散分量中的延迟，将记忆延迟τ作为扰动参数。
• 他们推导了正平衡点处的特征方程，并计算出一阶和二阶分岔的临界延迟值τ₁,₀ ≈ 5.1033和τ₂,₀ ≈ 1.8398。
• 该方法涉及通过适配于扩散项中非线性和延迟的系统性程序，计算中心流形和正规型系数K₁和K₂。
• 通过K₁和K₂的符号确定Hopf分岔的方向与稳定性，其中K₁ > 0且K₂ < 0表示超临界且稳定的分岔。
• 使用特定参数的完整系统进行数值模拟，以可视化时空动力学并验证理论预测。
• 将该算法应用于具有基于记忆的扩散的捕食者-猎物模型，其中改变d₂₁和τ以探索分岔曲线和模式转变。

Figure 1: Stability region and Hopf bifurcation curves in $d_{21}-\tau$ plane. The dotted region is the stability region and $\tau=\tau_{k,0},k=1,2,3$ , are Hopf bifurcation curves. Hopf bifurcation curves $\tau=\tau_{1,0}$ and $\tau=\tau_{2,0}$ intersect at the point $P(4.1354,4.0292)$ . The points

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非线性基于记忆的扩散项的反应-扩散系统中由记忆延迟引起的Hopf分岔计算正规型？
• RQ2 什么因素决定了此类系统中由延迟引起的一阶和二阶非均匀空间Hopf分岔的方向与稳定性？
• RQ3 能否通过分析和数值方法确认具有不同空间模式（一阶和二阶）的稳定非均匀空间周期解的存在？
• RQ4 当延迟τ超过临界值后，不同空间模式之间的动力学转变如何发生？
• RQ5 一阶和二阶Hopf分岔之间的相互作用如何导致复杂动力学，如模式转变或准周期行为？

主要发现

• 在τ₁,₀ ≈ 5.1033处发生的一阶非均匀空间Hopf分岔为超临界且稳定，其中K₁ ≈ 0.0597 > 0且K₂ ≈ -1.5624 < 0。
• 在τ₂,₀ ≈ 1.8398处发生的二阶非均匀空间Hopf分岔同样为超临界且稳定，其中K₁ ≈ 0.1733 > 0且K₂ ≈ -2.2283 < 0。
• 数值模拟证实了在τ > τ₁,₀和τ > τ₂,₀时，存在具有模式一和模式二空间模式的稳定非均匀空间周期解。
• 当τ ≈ 5.2且d₂₁ ≈ 4.3时，数值上观察到从不稳定的二阶模式向稳定的的一阶模式的非均匀空间周期解的转变。
• 在从二阶模式向一阶模式转变过程中，观察到短暂不稳定的准周期模式，表明在双Hopf点附近存在复杂动力学。
• 一阶和二阶Hopf分岔的相互作用导致丰富动力学，包括模式转变以及二维或三维不变环面的潜在出现。

Figure 4: The spatial-temporal dynamics of system ( 3.1 ) with the parameters $a=1,~{}b=\frac{3}{10},~{}c=\frac{1}{10},~{}d_{11}=\frac{6}{10},~{}d_{22}=\frac{8}{10},~{}\ell=2$ and $\left(d_{21},\tau\right)$ being the point $P_{4}(4.3,5.2)$ of Fig. 1 far from the Hopf bifurcation curves. Pattern tran