[论文解读] The SPDE approach for Gaussian and non-Gaussian fields: 10 years and still running

Finn Lindgren, David Bolin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2021

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 154被引用 85

一句话总结

该论文回顾了自提出以来十年间随机偏微分方程（SPDE）方法在高斯与非高斯随机场建模中的应用，展示了SPDE如何通过在任意流形上使用有限元方法，实现高效且稀疏的精度矩阵表示。该方法通过将连续的马尔可夫协方差结构与稀疏高斯马尔可夫随机场联系起来，实现计算效率，从而支持复杂空间与时空模型的可扩展推断，具备坚实的理论保证，并在科学与工程领域具有广泛的应用。

ABSTRACT

Gaussian processes and random fields have a long history, covering multiple approaches to representing spatial and spatio-temporal dependence structures, such as covariance functions, spectral representations, reproducing kernel Hilbert spaces, and graph based models. This article describes how the stochastic partial differential equation approach to generalising Mat\'ern covariance models via Hilbert space projections connects with several of these approaches, with each connection being useful in different situations. In addition to an overview of the main ideas, some important extensions, theory, applications, and other recent developments are discussed. The methods include both Markovian and non-Markovian models, non-Gaussian random fields, non-stationary fields and space-time fields on arbitrary manifolds, and practical computational considerations.

研究动机与目标

• 回顾过去十年中SPDE方法在高斯与非高斯随机场方面的理论与计算基础。
• 强调SPDE框架如何将连续协方差模型与离散、计算高效的马尔可夫随机场表示相连接。
• 通过健康、生态学、天文学和环境科学等不同领域中的应用，展示该方法的实际效用。
• 讨论对非平稳、各向异性、非马尔可夫及时空模型的最新扩展，并评估其计算可扩展性。

提出的方法

• SPDE方法将高斯随机场表示为由高斯白噪声驱动的随机偏微分方程的解。
• 有限元方法将连续域上的场投影到分段线性基上，将SPDE转化为稀疏精度矩阵形式。
• 由此产生的精度矩阵是稀疏且计算高效的，可通过稀疏Cholesky分解实现线性规模的推断。
• 该方法利用希尔伯特空间投影，确保离散表示中的马尔可夫性质与连续域中的一致。
• 对于非高斯场，该方法通过潜在高斯模型和基于非高斯噪声SPDE的随机表示进行扩展。
• 计算效率通过多重网格求解器、预条件化以及R-INLA、inlabru和ngme等软件接口进一步提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用SPDE构造具有马尔可夫协方差结构的高斯随机场的稀疏、计算高效的表示？
• RQ2 SPDE解、希尔伯特空间投影与任意流形上马尔可夫随机场之间的理论联系是什么？
• RQ3 SPDE框架如何扩展至非高斯、非平稳及非可分的时空随机场？
• RQ4 SPDE模型与NNGP或谱方法等替代方法相比，计算权衡如何？
• RQ5 SPDE模型如何在保持连续域性质的同时实现可扩展推断？

主要发现

• SPDE方法通过利用有限元离散化导出的稀疏精度矩阵，实现了高斯场推断的线性计算成本O(N)。
• 通过希尔伯特空间投影，该方法在特定光滑度参数下实现了连续马尔可夫协方差场与离散GMRF之间的精确对应。
• SPDE框架通过潜在高斯模型和随机表示支持非高斯场，相关实现已集成于ngme R软件包中。
• 应用涵盖多种领域，包括疟疾建模、EUSTACE气候重建、神经影像学和渔业科学，展现出广泛的实用价值。
• 该方法可扩展至高达近200万个节点的问题，如EUSTACE项目所示，使用直接Cholesky求解器实现。
• 对非马尔可夫与非平稳模型的扩展在理论上是坚实的，并在复杂时空建模中日益得到应用。