[论文解读] The special McKay correspondence and exceptional collection

Akira Ishii, Kazushi Ueda|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 10

一句话总结

该论文为有限小子群 $G \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ 的商栈 $[\mathbb{A}^2/G]$ 上的凝聚层导出范畴建立了半正交分解，表明其可分解为一个全例外集合与最小解析的导出范畴的直和。关键结果通过在导出 McKay 函子像的正交补中构造显式例外集合，将 McKay 对应关系推广至 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 之外，利用根构造与阿贝尔化技术实现。

ABSTRACT

We show that the derived category of coherent sheaves on the quotient stack of the affine plane by a finite small subgroup of the general linear group is obtained from the derived category of coherent sheaves on the minimal resolution by adding a semiorthogonal summand with a full exceptional collection. The proof is based on an explicit construction in the abelian case, together with the analysis of the behavior of the derived categories of coherent sheaves under root constructions.

研究动机与目标

• 将导出 McKay 对应关系从 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 的子群推广至 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ 的一般有限小子群。
• 通过识别一个半正交分解，其中包含一个例外集合，来解决当 $G \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 时 $D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ 中缺乏例外对象的问题。
• 通过一个从最小解析的导出范畴到全忠实函子的构造，提供对可交换非创性解析的非交换描述。

提出的方法

• 利用阿贝尔情形（循环群）通过特殊表示的连分数展开，显式构造 $D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ 中的全例外集合。
• 通过迭代的 Hilbert 模间与根构造，构造一个全忠实函子 $\Phi' : D^b(\mathrm{coh} Y) \to D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$。
• 应用典范栈构造以解决商栈中的奇点，从而在简单交叉正常除数上使用根构造。
• 利用稳定层模空间上的普遍族来定义积分函子 $\Phi'$ 的核。
• 利用同构 $D^b(\mathrm{coh}[Y_0/A]) \cong D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$（其中 $Y_0 = G_0$-Hilb($\mathbb{A}^2$) 且 $A = G/G_0$ 为循环群）将一般情形约化为阿贝尔情形。
• 应用根构造与典范栈的结果，关联商栈与最小解析的导出范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 导出 McKay 对应关系能否被推广至 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ 的有限小子群的非创性解析？
• RQ2 当 $G \not\subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 时，导出范畴 $D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ 是否允许存在全例外集合？
• RQ3 如何用例外集合描述导出 McKay 函子像的半正交补？

主要发现

• 对于任意有限小子群 $G \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$，导出范畴 $D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ 允许一个半正交分解，其由长度等于 $G$ 的非特殊不可约表示数的全例外集合，以及最小解析的导出范畴像组成。
• 该例外集合通过等变版本的 McKay 对应关系与根构造构建，即使当 $G \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 且 $D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ 中不存在例外对象时亦成立。
• 该构造依赖于将迭代 Hilbert 模间 $Y_2 = A$-Hilb($G_0$-Hilb($\mathbb{A}^2$)) 识别为稳定层的模空间，从而实现全忠实函子 $\Phi'$。
• 证明了与二维可逆多项式栈相关的典范栈可通过连续根构造获得全例外集合。
• 当 $n=4$ 时，与可逆多项式相关的二维 Deligne-Mumford 栈具有全例外集合，作为定理 1.4 与引理 10.1 的推论。
• 证明表明，即使原始核 $\{O_0 \otimes \rho\}$ 不是例外的，导出 McKay 函子像的半正交补仍由一个例外集合生成。