[论文解读] The spectral determinations of the multicone graphs Kw+mCn

Ali Zeydi Abdian|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2017

Graph theory and applications参考文献 25被引用 7

一句话总结

该论文证明了当 $w, m \neq 1$ 且 $n \neq 6$ 时，由完全图 $K_w$ 与 $m$ 个不相交的圈 $C_n$ 通过连接操作构成的多锥图，其邻接谱和拉普拉斯谱均可唯一确定该图。此外，当 $n=3$ 时，这些图的补图由其邻接谱唯一确定，并建立了共谱图为完美图的充要条件。该研究将谱特征刻画推广至超越轮图的新一类多锥图。

ABSTRACT

The main goal of the paper is to characterize new classes of multicone graphs which are determined by both adjacency and Laplacian spectra. A multicone graph is defined to be the join of a clique and a regular graph. A wheel graph obtained from the join of a complete graph on a vertex with a cycle. A question about when wheel graphs are determined by their adjacency spectra is still unsolved. So, any indication about the determinations of these graphs with respect to their adjacency spectra can be an interesting and important problem. In [Y. Zhang, X. Liu, and X. Yong: Which wheel graphs are determined by their Laplacian spectra?. Comput. Math. Appl., 58 (2009) 1887{1890] and [M.-H. Liu: Some graphs determined by their (signless) Laplacian spectra. Czech. Math. J., 62, (2012) 1117{1134] it have been shown that except for, the wheel graph of order seven, all wheel graphs are determined by their Laplacian spectra and wheel graphs are determined by their signless Laplacian spectra, respectively. In this study, we present new classes of connected multicone graphs which are a natural generalization of wheel graphs and we show that these graphs are determined by their adjacency spectra as well as their Laplacian spectra. Also, we show that complement of some of these graphs are determined by their adjacency spectra. In addition, we give a necessary and sufficient condition for perfecting graphs cospectral with presented graphs in the paper. Finally, we pose two problems for further work.

研究动机与目标

• 刻画由邻接谱和拉普拉斯谱唯一确定的新一类多锥图。
• 推广轮图（目前其谱唯一性问题尚未完全解决）。
• 研究多锥图补图的谱性质。
• 建立共谱图为完美图的必要与充分条件。
• 提出未来研究中关于无符号拉普拉斯谱与补图谱的开放问题。

提出的方法

• 对 $w$ 使用数学归纳法，推导 $K_w \triangledown mC_n$ 的拉普拉斯谱。
• 应用已知的圈 $C_n$ 的谱公式，特别是 $\operatorname{Spec}_L(C_n) = 2 - 2\cos(2\pi k/n)$。
• 利用图的连接运算 $G \triangledown H$，从 $K_w$ 与 $mC_n$ 构造多锥图，并利用连接图的谱性质。
• 利用如下事实：若 $\operatorname{Spec}_L(G) = \operatorname{Spec}_L(H)$ 且 $G$ 是两个图的连接图，则在谱唯一性条件下 $H$ 必与 $G$ 同构。
• 应用洛瓦兹完美图定理与伯杰猜想，分析诱导子图结构，研究共谱图的完美性。
• 分析 $\overline{mC_n}$ 的结构，证明当 $n$ 为偶数或 $n=3$ 时，$\overline{K_w \triangledown mC_n}$ 不含奇圈或反圈。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $w, m \neq 1$ 且 $n \neq 6$ 时，多锥图 $K_w \triangledown mC_n$ 是否由其邻接谱唯一确定？
• RQ2 在相同条件下，这些多锥图是否也由其拉普拉斯谱唯一确定？
• RQ3 补图 $\overline{K_w \triangledown mC_n}$ 是否由其邻接谱唯一确定？
• RQ4 在何种条件下，与 $K_w \triangledown mC_n$ 共谱的图是完美图？
• RQ5 $K_w \triangledown mC_n$ 是否由其无符号拉普拉斯谱唯一确定？

主要发现

• 当 $w, m \neq 1$ 且 $n \neq 6$ 时，多锥图 $K_w \triangledown mC_n$ 由其邻接谱唯一确定。
• 在相同条件下，这些多锥图也由其拉普拉斯谱唯一确定。
• 当 $n=3$ 时，补图 $\overline{K_w \triangledown mC_3}$ 由其邻接谱唯一确定。
• 根据文中引用的先前结果，$\overline{K_w \triangledown C_4}$ 也由其邻接谱唯一确定。
• 与 $K_w \triangledown mC_n$ 共谱的图为完美图，当且仅当 $n$ 为偶数或 $n=3$，原因在于其不含奇圈或反圈。
• 本文提出两个猜想：$\overline{K_w \triangledown mC_n}$ 由邻接谱唯一确定，且 $K_w \triangledown mC_n$ 由无符号拉普拉斯谱唯一确定。