[论文解读] The spectral extrema of graphs of odd size forbidding $H(4,3)$ beyond the book graph

Abdul Basit Wani, S. Pirzada+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2026

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一句话总结

这篇论文在不包含书本图的情况下，对奇数大小的 H(4,3)-free 图给出谱半径的尖锐上界，并识别出唯一实现该上界的极值图。

ABSTRACT

A graph is said to be $H$-free if it does not contain a subgraph isomorphic to $H$. The fish graph, denoted by $H(4, 3)$, is a $6-$vertex graph obtained from a cycle of length $4$ and a triangle by sharing a common vertex. Earlier it is shown that $λ(G)\leq \frac{1+\sqrt{4m-3}}{2}$ holds for all $H(4,3)-$free graphs of odd size $m\geq 44,$ and the equality holds if and only if $G\cong S_{\frac{m+3}{2},2},$ where $S_{\frac{m+3}{2},2}$ is the $m-$edge book graph $K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1,$ where $K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1,$ denotes the join of $K_2$ and $\frac{m-1}{2}K_1.$ Let $\mathcal{G}(m,H(4,3))$ denote the family of $H(4,3)$-free graphs with $m$ edges and no isolated vertices. We write $ \mathcal{G}(m,H(4,3)) \setminus \left\{ K_2 \vee frac{m-1}{2}K_1 ight\} $ for the corresponding subfamily obtained by excluding the book graph. In this paper, we establish a sharp upper bound on the spectral radius of graphs over $\mathcal{G}(m,H(4,3))\setminus \{K_2 \vee \frac{m-1}{2}K_1\}$ for odd $m\geq 58$ and characterize the unique extremal graph attaining this bound.

研究动机与目标

• 研究在给定奇数大小且无孤立顶点的情况下，H(4,3)-free 图的谱极值问题的动机。
• 确定所述族内图的谱半径的尖锐上界。
• 表征达到该界的唯一极值图。

提出的方法

• 利用 Perron–Frobenius 理论及 Perron 向量将顶点权重与谱半径联系起来。
• 使用等价划分和商矩阵来界定最大特征值。
• 推导并分析关于 H(4,3)-free 图中顶点局部邻域的结构引理。
• 在 Perron 向量引导下进行边重定位论证以比较谱半径。
• 通过分情况分析证明极值图必须同构于特定的连接结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 m 为奇数且 m ≥ 58 时，在 G(m,H(4,3)) 中排除书本图后，G 的最大谱半径 λ(G) 是多少？
• RQ2 在奇数大小约束下，在排除 K2 ∨ (m−1)/2 K1 的情形中，H(4,3)-free 图中哪一个图达到最大谱半径？
• RQ3 在所述族中达到界的 G 的精确极值结构是什么？

主要发现

• 对于奇数 m ≥ 58 且 G ∈ G(m,H(4,3)) ackslash {K2 ∨ (m−1)/2 K1}，谱半径满足 λ(G) ≤ λ̃(m)。
• 当且仅当 G ≅ K1 ∨ (K1, (m−3)/2 ⊔ 2K1) 时，等号成立。
• λ̃(m) 是 x^4 − m x^2 − (m−3) x + m − 3 = 0 的最大根。
• 在受限族中极值图是唯一的，并且由涉及少数度为 1 的顶点的特定连接结构所刻画。