[论文解读] The spectrum of the Heisenberg ferromagnet and graph theory

Yingkai Ouyang|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 1

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，通过利用图的对称积和最小分配问题，在任意图上计算自旋-1/2海森堡铁磁体中小能量本征值的上界。此外，还提出了一种利用顶点诱导子图的边等周性质来估计下界的方法，若一个关键猜想成立，则该方法有望实现完整的多项式时间近似。

ABSTRACT

We give a polynomial-time algorithm for computing upper bounds on some of the smaller energy eigenvalues in a spin-1/2 ferromagnetic Heisenberg model with any graph $G$ for the underlying interactions. An important ingredient is the connection between Heisenberg models and the symmetric products of $G$. Our algorithms for computing upper bounds are based on generalized diameters of graphs. Computing the upper bounds amounts to solving the minimum assignment problem on $G$, which has well-known polynomial-time algorithms from the field of combinatorial optimization. We also study the possibility of computing the lower bounds on some of the smaller energy eigenvalues of Heisenberg models. This amounts to estimating the isoperimetric inequalities of the symmetric product of graphs. By using connections with discrete Sobolev inequalities, we show that this can be performed by considering just the vertex-induced subgraphs of $G$. If our conjecture for a polynomial time approximation algorithm to solve the edge-isoperimetric problem holds, then our proposed method of estimating the energy eigenvalues via approximating the edge-isoperimetric properties of vertex-induced subgraphs will yield a polynomial time algorithm for estimating the smaller energy eigenvalues of the Heisenberg ferromagnet.

研究动机与目标

• 为任意相互作用图上的自旋-1/2海森堡铁磁体中小能量本征值开发一种多项式时间计算方法。
• 将海森堡模型的谱性质与图的对称积及广义图直径联系起来。
• 探讨是否可通过对称图积的等周不等式来计算能量本征值的下界。
• 研究近似顶点诱导子图的边等周性质是否能导出能量本征值估计的多项式时间近似算法。
• 通过图论构造，建立量子自旋模型与离散Sobolev不等式之间的联系。

提出的方法

• 该方法利用相互作用图G的对称积来建模海森堡铁磁体的希尔伯特空间结构。
• 通过在图G上求解最小分配问题来计算能量本征值的上界，该问题已知可在多项式时间内求解。
• 该方法依赖于图的广义直径作为影响能级的结构复杂度度量。
• 通过分析G的对称积中的等周不等式，特别是边等周性质，来估计下界。
• 该方法将估计低能级本征值的问题简化为研究G的顶点诱导子图，利用离散Sobolev不等式。
• 通过一个关于边等周问题在多项式时间内可近似的猜想，论证了整个估计框架的多项式时间可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意相互作用图，是否能高效计算自旋-1/2海森堡铁磁体中小能量本征值的上界？
• RQ2 海森堡模型的谱性质如何与底层图的对称积相关联？
• RQ3 对称图积中的等周不等式能否用于估计能量本征值的下界？
• RQ4 顶点诱导子图上的边等周问题在多大程度上可被多项式时间近似？
• RQ5 对边等周性质的多项式时间近似算法是否能导出海森堡铁磁体能量谱的多项式时间近似？

主要发现

• 通过将问题约化为相互作用图上的最小分配问题，存在一种多项式时间算法来计算小能量本征值的上界。
• 图G的对称积为分析海森堡铁磁体的希尔伯特空间和能谱提供了一个自然框架。
• 通过研究G的顶点诱导子图的边等周性质，可以估计能量本征值的下界。
• 与离散Sobolev不等式的联系使得复杂的等周问题可简化为子图层面的分析。
• 若顶点诱导子图上的边等周问题存在多项式时间近似，则整个能量本征值估计问题将变为多项式时间可解。
• 所提出的框架在量子自旋模型与组合图论之间建立了新颖的桥梁，特别是通过对称积和广义直径。