[论文解读] The Split Common Null Point Problem

C.L. Byrne, Yair Censor+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 42被引用 112

一句话总结

本文提出了分裂共同零点问题（SCNPP），作为分裂变分不等式问题（SVIP）的推广，用于在通过有界线性算子连接的两个希尔伯特空间之间寻找极大单调集值映射的零点。文章提出了四种迭代算法，其中一种实现弱收敛，其余三种实现强收敛，将分裂可行性方法的适用范围扩展至零点问题与单调包含问题。

ABSTRACT

We introduce and study the Split Common Null Point Problem (SCNPP) for set-valued maximal monotone mappings in Hilbert spaces. This problem generalizes our Split Variational Inequality Problem (SVIP) [Y. Censor, A. Gibali and S. Reich, Algorithms for the split variational inequality problem, Numerical Algorithms 59 (2012), 301--323]. The SCNPP with only two set-valued mappings entails finding a zero of a maximal monotone mapping in one space, the image of which under a given bounded linear transformation is a zero of another maximal monotone mapping. We present four iterative algorithms that solve such problems in Hilbert spaces, and establish weak convergence for one and strong convergence for the other three.

研究动机与目标

• 将分裂共同零点问题（SCNPP）作为分裂变分推理问题（SVIP）及其他分裂可行性问题的推广进行形式化与研究。
• 将分裂算法的适用范围扩展至涉及极大单调集值映射的单调包含问题。
• 设计在希尔伯特空间中求解SCNPP的迭代算法，并提供收敛性保证。
• 在统一框架下统一并推广现有问题，如分裂可行性问题（SFP）、凸可行性问题（CFP）和分裂最小化问题（SMP）。

提出的方法

• 将SCNPP(p,r)形式化为在H₁中寻找一点x*，使得0 ∈ ∩_{i=1}^p B_i(x*)，且y*_j = A_j(x*)满足0 ∈ ∩_{j=1}^r F_j(y*_j)，其中A_j: H₁ → H₂为有界线性算子。
• 采用前向-后向分裂法与松弛投影法，利用极大单调算子的预解算子J_λ^B与J_λ^F。
• 利用平均算子与弱收敛到强收敛的转换原理，通过松弛步骤将弱收敛算法转化为强收敛算法。
• 在希尔伯特空间结构下，将Krasnosel’skiï-Mann迭代框架应用于预解算子与线性算子的复合，确保收敛性。
• 引入新的迭代更新规则x^{k+1} = P_{H(x⁰,xᵏ) ∩ H(xᵏ,S₁/₂(xᵏ))}(x⁰)，在无需额外假设的条件下实现强收敛。
• 利用算子S = J_λ^{B₁}(I - γA*(I - J_λ^{F₁})A)为平均算子且非扩张的性质，通过 firmly 非扩张算子进行收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂变分不等式问题（SVIP）能否推广至包含希尔伯特空间中极大单调集值映射的零点问题？
• RQ2 在希尔伯特空间中，可设计何种迭代算法以保证收敛性来求解SCNPP？
• RQ3 在SCNPP背景下，如何在不施加额外假设的条件下将弱收敛提升为强收敛？
• RQ4 SCNPP以何种方式统一并扩展了现有问题，如分裂可行性问题、分裂最小化问题与分裂平衡问题？
• RQ5 SCNPP框架能否容纳超出反强单调算子范围的单调与拟连续算子？

主要发现

• SCNPP(p,r)推广了SVIP，并包含了其所有特例，如分裂可行性问题（SFP）、凸可行性问题（CFP）与分裂最小化问题（SMP），即使在不假设目标函数可微的条件下亦成立。
• 所提出的四种算法中，一种实现弱收敛至SCNPP的解，其余三种在相同条件下保证强收敛。
• 通过松弛技术，三种算法的强收敛得以实现：该技术将标准迭代更新替换为对两个半空间交集的投影，从而在无需额外假设的条件下确保收敛。
• 算子S = J_λ^{B₁}(I - γA*(I - J_λ^{F₁})A)被证明为平均算子且非扩张，构成收敛性分析的基础。
• 该框架将Moudafi的分裂最小化变分不等式（SMVI）问题扩展至包含单调与拟连续算子，使其适用范围超越反强单调算子。
• SCNPP框架可通过设置A_j = I且H₁ = H₂，实现“分裂”与“共同”问题类型的混合应用，从而统一处理共同与分裂零点问题。