[论文解读] The splitting lemmas for nonsmooth functionals on Hilbert spaces I

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 27被引用 6

一句话总结

本论文为在希尔伯特空间上定义的、在某稠密嵌入的巴拿赫空间附近具有更高光滑性（但低于 $C^2$）的连续方向可微泛函，建立了分裂引理与转移定理。关键贡献在于提出了一类广义分裂定理，通过结合莫尔斯-帕莱依思想与泛函分析技术，将先前结果推广至更广泛的变分问题类别，包括高阶椭圆型偏微分方程与拉格朗日系统。

ABSTRACT

The Gromoll-Meyer's generalized Morse lemma (so called splitting lemma) near degenerate critical points on Hilbert spaces, which is one of key results in infinite dimensional Morse theory, is usually stated for at least $C^2$-smooth functionals. It obstructs one using Morse theory to study most of variational problems of form $F(u)=\int_Ωf(x, u,..., D^mu)dx$ as in ( ef{e:1.1}). In this paper we establish a splitting theorem and a shifting theorem for a class of continuously directional differentiable functionals (lower than $C^1$) on a Hilbert space $H$ which have higher smoothness (but lower than $C^2$) on a densely and continuously imbedded Banach space $X\subset H$ near a critical point lying in $X$. (This splitting theorem generalize almost all previous ones to my knowledge). Moreover, a new theorem of Poincaré-Hopf type and a relation between critical groups of the functional on $H$ and $X$ are given. Different from the usual implicit function theorem method and dynamical system one our proof is to combine the ideas of the Morse-Palais lemma due to Duc-Hung-Khai \cite{DHK} with some techniques from \cite{JM, Skr, Va1}. Our theory is applicable to the Lagrangian systems on compact manifolds and boundary value problems for a large class of nonlinear higher order elliptic equations.

研究动机与目标

• 将格罗莫尔-迈耶分裂引理推广至在希尔伯特空间上仅连续方向可微但其在稠密巴拿赫子空间上具有更高光滑性的泛函。
• 使莫尔斯理论能够应用于涉及高阶椭圆型偏微分方程与拉格朗日系统的变分问题，其中作用泛函通常仅具有 $C^{1}$ 或 $C^{2-0}$ 光滑性。
• 建立希尔伯特空间上与巴拿赫子空间上临界群之间的关系，并为这类泛函证明一个庞加莱-霍普夫型定理。
• 通过结合莫尔斯-帕莱依引理技术与文献 [27, 43, 46] 的结果，克服经典隐函数定理与动力系统方法的局限性。

提出的方法

• 采用源自 Duc-Hung-Khai [19] 的莫尔斯-帕莱依引理框架，处理在稠密巴拿赫子空间 $X \subset H$ 上具有更高正则性的 $C^1$-光滑泛函。
• 应用附录 A 中的参数化版本莫尔斯-帕莱依引理，构造退化临界点附近的局部标准型。
• 运用自伴算子的紧性扰动理论（命题 B.2）分析临界点处类似海森矩阵算子的谱性质。
• 在严格 Gâteaux 可微性证明中使用 Hahn-Banach 定理与中值定理，以确保导算子映射的正则性。
• 利用巴拿赫空间设定下的反函数定理，构造一个微分同胚，将泛函在临界点附近分解为二次部分与余项。
• 建立分裂引理的函子性质，以在嵌入下保持临界群等拓扑不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典分裂引理（格罗莫尔-迈耶）能否推广至在希尔伯特空间上仅连续方向可微但非 $C^2$ 的泛函？
• RQ2 对于 $C^{1}$ 但非 $C^2$ 的泛函，特别是在高阶椭圆型偏微分方程背景下，临界群如何计算？
• RQ3 希尔伯特空间 $H$ 上泛函的临界群与其在稠密巴拿赫子空间 $X$ 上的限制之间存在何种关系？
• RQ4 能否为具有有限可微性的非光滑泛函建立一个庞加莱-霍普夫型定理？
• RQ5 在泛函于巴拿赫空间上为 $C^{1}$ 且在稠密子空间上为 $C^2$ 的条件下，何种条件可保证其导算子在临界点处为严格 Gâteaux 可微？

主要发现

• 为在希尔伯特空间上连续方向可微、且在稠密巴拿赫子空间 $X \subset H$ 上靠近 $X$ 中临界点处具有 $C^2$ 光滑性的泛函，建立了新的分裂定理。
• 希尔伯特空间 $H$ 上泛函的临界群与子空间 $X$ 上的临界群通过分裂诱导的同胚相关联，从而保持了拓扑不变量。
• 证明了庞加莱-霍普夫型定理，该定理在新正则性框架下将临界点指标之和与水平集的欧拉示性数联系起来。
• 建立了转移定理，允许在临界点附近对泛函进行变形，以消除类似海森矩阵算子核的贡献。
• 证明了若泛函在 $H$ 上连续方向可微且在 $X$ 上为 $C^2$，则其导算子在临界点处为严格 Gâteaux 可微。
• 通过紧性扰动理论分析了二阶导算子的谱性质，表明 $(-\infty, C_0)$ 中的孤立谱点为有限重特征值。