[论文解读] The spreading behavior of quantum walks induced by drifted random walks on some magnifier graph

Yusuke Higuchi, Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 5

一句话总结

本论文研究了在放大器图上由漂移随机游走诱导的Szegedy量子游走的传播行为——一种修改的一维格点。结果表明，底层随机游走的特征值通过有限往返路径诱导局域化，而随机游走的瞬时性则减缓了量子游走的伪速度，并导致与Konno分布不同的极限分布，其特征为随机游走谱中的谱隙。

ABSTRACT

In this paper, we consider the quantum walk on $\mathbb{Z}$ with attachment of one-length path periodically. This small modification to $\mathbb{Z}$ provides localization of the quantum walk. The eigenspace causing this localization is generated by finite length round trip paths. We find that the localization is due to the eigenvalues of an underlying random walk. Moreover we find that the transience of the underlying random walk provides a slow down of the pseudo velocity of the induced quantum walk and a different limit distribution from the Konno distribution.

研究动机与目标

• 理解在放大器图上漂移随机游走的谱特性如何影响所诱导Szegedy量子游走的传播行为。
• 研究局域化是否可能在无环路的情况下发生，从而挑战基于同调的常规几何解释。
• 表征所诱导量子游走的极限分布，并确定其对底层随机游走的瞬时性与谱隙的依赖性。
• 根据所诱导量子游走的渐近行为，对漂移随机游走的参数区域进行分类。

提出的方法

• 在放大器图上构建Szegedy游走，该图是Z的周期性扩展并附加路径，使用具有转移概率(p, q, r)的三参数漂移随机游走。
• 应用谱映射定理，将随机游走转移矩阵P的特征值映射到复平面上的单位圆，识别出导致局域化的特征子空间。
• 定义由有限长度往返路径生成的特征子空间L±，这些子空间对任意与之重叠的初始态均支持量子游走中的局域化。
• 分析随机游走的连续谱，识别谱隙(−λ₀, λ₀)和(−1, λ₁) ∪ (λ₁, 1)，其中λ₀ = inf|spec(P)\{0}|且λ₁ = sup|spec(P)|。
• 通过谱分析与积分变换推导缩放后量子游走的弱极限分布，得到一个包含λ₀与λ₁的密度函数。
• 将极限密度表示为两部分之和：一部分类似于Konno的分布，另一部分为仅在随机游走瞬时（λ₁ < 1）时出现的新波成分γ±(x;λ₁,λ₀)。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子游走中的局域化是否可能在无环路或非平凡同调的情况下发生？若可，其背后的机制是什么？
• RQ2 底层漂移随机游走的瞬时性如何影响所诱导量子游走的伪速度与极限分布？
• RQ3 随机游走谱中的谱隙（特别是λ₀与λ₁）在塑造量子游走传播行为方面起什么作用？
• RQ4 所诱导量子游走的极限分布是否由底层随机游走的参数(p, q, r)唯一确定？这些参数能否根据其渐近行为进行分类？
• RQ5 在何种条件下，极限分布中会出现与Konno分布不同的新波成分？

主要发现

• 所诱导量子游走中的局域化并非源于环路或同调结构，而是源于底层随机游走的特征值，特别是当随机游走的0处存在非零特征值时。
• 导致局域化的特征子空间由有限长度往返路径生成，只要初始态在该子空间上有非零投影，量子游走即表现出局域化。
• 当底层随机游走为瞬时性时，量子游走的伪速度降低，其降低程度由λ₀与λ₁共同决定。
• 仅当底层随机游走为瞬时性（λ₁ < 1）时，极限分布中才会出现新的波成分，而在常返性（λ₁ = 1）时该成分消失。
• 极限密度函数被显式推导为两项之和：一项类似于Konno的分布，另一项包含γ±(x;λ₁,λ₀)，当λ₁ = 1时该部分消失。
• 参数空间(p, q, r)可根据所得到的极限分布划分为等价类，当且仅当λ₁(p, q, r) = λ₁(p′, q′, r′)且λ₀(p, q, r) = λ₀(p′, q′, r′)时，(p, q, r) ∼ (p′, q′, r′)。