[论文解读] The Square of Adjacency Matrices

Dan Kranda|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2012

Graph theory and applications被引用 3

一句话总结

本文研究邻接矩阵平方的结构性质，表明其编码了图中长度为二的路径、二分结构、连通性以及四元环的信息。主要贡献在于刻画了哪些矩阵可以表示为某个简单无向图的邻接矩阵的平方，同时构造了具有相同平方邻接矩阵但非同构的图。

ABSTRACT

It can be shown that any symmetric $(0,1)$-matrix $A$ with $ r A = 0$ can be interpreted as the adjacency matrix of a simple, finite graph. The square of an adjacency matrix $A^2=(s_{ij})$ has the property that $s_{ij}$ represents the number of walks of length two from vertex $i$ to vertex $j$. With this information, the motivating question behind this paper was to determine what conditions on a matrix $S$ are needed to have $S=A(G)^2$ for some graph $G$. Structural results imposed by the matrix $S$ include detecting bipartiteness or connectedness and counting four cycles. Row and column sums are examined as well as the problem of multiple nonisomorphic graphs with the same adjacency matrix squared.

研究动机与目标

• 确定矩阵 S 可表示为某个简单无向图 G 的 A(G)² 的充分必要条件。
• 通过 A(G)² 的分块对角形式刻画图的性质（如二分结构和连通性）。
• 利用 A(G)² 的元素计数图中四元环的数量。
• 研究具有相同平方邻接矩阵的图的非唯一性，包括构造多个非同构图使其具有相同的 S = A(G)²。

提出的方法

• 使用定义 s_ij = ∑ₖ a_ik a_kj，将 s_ij 解释为图 G 中从顶点 i 到 j 的长度为二的路径数量。
• 应用置换相似性（S₁ ~ S₂ 通过 P⁻¹S₁P），将矩阵结构与图的同构类关联。
• 采用分块矩阵分解，分析 A(G)² 是否暗示图具有二分结构或不连通分量。
• 应用组合计数：∑ᵢ≠ⱼ (s_ij choose 2) / 4 给出图 G 中不同四元环的数量。
• 通过组合不相交的 G 及其二分双覆盖 H 的副本，利用分块置换矩阵构造非同构图 H_t 的族。
• 使用克罗内克覆盖构造（二分双覆盖）生成具有相同 A(G)² 的非同构图。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种矩阵 S 的结构性质可确保存在某个简单无向图 G，使得 S = A(G)²？
• RQ2 如何从 A(G)² 的分块对角结构判断图的二分性或连通性？
• RQ3 ∑ᵢ≠ⱼ (s_ij choose 2) / 4 在图环意义下的精确组合解释是什么？
• RQ4 多个非同构图能否具有相同的平方邻接矩阵？若能，对于给定的 S，最多可存在多少个这样的图？

主要发现

• 当且仅当矩阵 S 满足由路径计数和矩阵相似性导出的特定结构性约束时，S 才是平方图形矩阵（即存在图 G 使得 S = A(G)²）。
• 当且仅当 A(G)² 相似于一个具有两个零非对角分块的分块对角矩阵时，图 G 是二分图或不连通图。
• 图 G 中不同四元环的数量恰好为 (1/4)∑ᵢ≠ⱼ (s_ij choose 2)，其中 s_ij 是 A(G)² 的 (i,j) 元素。
• 对于任意非二分图 G（n ≥ 3 个顶点）及任意正整数 k，存在一个大小为 (2kn)×(2kn) 的矩阵 S，使得 S = A(G_t)² 对 k+1 个非同构图 G₁,…,G_{k+1} 成立。
• 非二分、连通、非同构图可具有相似（但不必然相等）的平方邻接矩阵，文献中的显式例子已证明此现象。
• 构造具有相同 A(G)² 的非同构图依赖于通过置换矩阵组合 G 及其二分双覆盖 H 的不相交副本，从而保持邻接矩阵平方不变。