[论文解读] The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion

Ilka Agricola|ArXiv.org|Jun 28, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 150被引用 106

一句话总结

本文提出以具有挠率的度量联络作为黎曼几何与超弦理论中非可积几何的统一框架。通过运用G-结构的固有挠率与特征联络，推导出带挠率的Dirac算子的Weitzenböck公式，将其与平行旋量及Kostant的立方Dirac算子联系起来，并确立其在II型超弦理论共同 sector 中的作用。

ABSTRACT

This review article intends to introduce the reader to non-integrable geometric structures on Riemannian manifolds and invariant metric connections with torsion, and to discuss recent aspects of mathematical physics--in particular superstring theory--where these naturally appear. Connections with skew-symmetric torsion are exhibited as one of the main tools to understand non-integrable geometries. To this aim a a series of key examples is presented and successively dealt with using the notions of intrinsic torsion and characteristic connection of a $G$-structure as unifying principles. % The General Holonomy Principle bridges over to parallel objects, thus motivating the discussion of geometric stabilizers, with emphasis on spinors and differential forms. Several Weitzenböck formulas for Dirac operators associated with torsion connections enable us to discuss spinorial field equations, such as those governing the common sector of type II superstring theory. They also provide the link to Kostant's cubic Dirac operator.

研究动机与目标

• 通过具有反对称挠率的度量联络统一研究非可积几何。
• 确立固有挠率与特征联络作为G-结构组织原则的作用。
• 将几何稳定子（特别是平行旋量与微分形式）与旋进和物理理论联系起来。
• 推导带挠率的Dirac算子的Weitzenböck公式，并将其与超弦理论中的旋量场方程联系起来。
• 展示挠率联络如何为具有非平凡B-场的Strominger模型提供几何解。

提出的方法

• 利用固有挠率概念对G-结构进行分类，并表征具有挠率的度量联络。
• 应用一般旋进原理，将几何稳定子（如平行旋量）与特征联络联系起来。
• 推导在挠率联络下Dirac算子平方的Weitzenböck公式，包括特征联络的Casimir算子。
• 引入4-形式σ_T = g(T(·,·),T(·,·))作为关键曲率不变量，由第一Bianchi恒等式导出。
• 使用散度公式δ^∇ω = δ^gω − ½∑(ei∧ej∧T)∧(ei∧ej∧ω)将∇-与g-形式导数联系起来。
• 通过R^g = R^∇ − ½∇T + ¼g(T,T) − ¼σ_T将黎曼曲率R^g与∇-曲率R^∇联系起来，相应调整Ricci与数量曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过具有挠率的度量联络统一描述不同G-结构中非可积几何？
• RQ2 固有挠率在非可积几何的分类及特征联络的确定中起什么作用？
• RQ3 带挠率的Dirac算子的Weitzenböck公式如何与平行旋量及Kostant的立方Dirac算子相关联？
• RQ4 当∇T = 0且δT = 0时，挠率联络如何为II型超弦理论中的Strominger模型提供解？
• RQ5 涉及σ_T与T的散度的曲率恒等式如何影响联络的Ricci与数量曲率？

主要发现

• 带挠率的Dirac算子的平方具有Weitzenböck公式，可分解为曲率与挠率项，从而实现对平行旋量的分析。
• 对于具有反对称挠率的度量联络，挠率形式的散度满足δ^∇T = δ^gT = δT，且当T为∇-平行时δT = 0。
• 联络∇的Ricci曲率为Ric^∇(X,Y) = Ric^g(X,Y) + ½δT(X,Y) − ¼∑g(T(e_i,X),T(e_i,Y))，当且仅当δT = 0时Ric^∇对称。
• 数量曲率的变换为scal^∇ = scal^g − ³⁄₂||T||²，表明曲率因挠率而直接减小。
• 4-形式σ_T定义为σ_T(X,Y,Z,V) = g(T(X,Y),T(Z,V)) + g(T(Y,Z),T(X,V)) + g(T(Z,X),T(Y,V))，并出现在曲率恒等式中。
• 当∇T = 0时，有dT = 2σ_T，将挠率的外导数与内在曲率形式σ_T联系起来。