[论文解读] The Stability of Free Fermi Hamiltonians

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Quantum many-body systems被引用 13

一句话总结

本文通过一种新颖的系统加倍构造，证明了在弱局部微扰下，具有能隙的局部自由费米子哈密顿量的稳定性，该构造可消除拓扑障碍。关键结果建立了与系统尺寸无关的统一稳定性界，从而实现了对诸如霍尔电导率量化等物理性质的严格控制。

ABSTRACT

Recent results have shown the stability of frustration-free Hamiltonians to weak local perturbations, assuming several conditions. In this paper, we prove the stability of free fermion Hamiltonians which are gapped and local. These free fermion Hamiltonians are not necessarily frustration-free, but we are able to adapt previous work to prove stability. The key idea is to add an additional copy of the system to cancel topological obstructions. We comment on applications to quantization of Hall conductance in such systems.

研究动机与目标

• 建立在弱局部微扰下，具有能隙的局部自由费米子哈密顿量的统一稳定性界，且与系统尺寸无关。
• 克服阻碍标准无 frustration 稳定性定理适用于一般自由费米子系统的拓扑障碍。
• 将先前仅限于无 frustration 或可对易投影算符哈密顿量的稳定性结果，推广至更广泛的自由费米子系统类别。
• 为具有局部相互作用的能隙费米子系统中霍尔电导率的量化提供严格的理论基础。
• 开发一种避免依赖非局域变换或近似局域基的方法，这些方法在拓扑非平凡情况下会失效。

提出的方法

• 通过添加原始自由费米子哈密顿量的第二个副本，引入一个加倍系统，以消除拓扑障碍。
• 定义一个加倍哈密顿量 $H_{doub}$，将原始哈密顿量及其副本结合，确保整个系统为无 frustration 状态，并满足稳定性定理的条件。
• 应用准绝热连续技术，利用谱隙和相互作用强度的界来控制微扰下基态的演化。
• 使用具有超多项式衰减的 Lieb-Robinson 型界，控制微扰算符的局域性，确保微扰在演化后仍保持局域性。
• 构造一个修正哈密顿量 $X_u = \tilde{V}_u + (\tilde{H}_{0,u} - M_u)$ 以分离局域贡献，并证明微扰强度在演化后仍保持为 $O(J)$，与系统尺寸无关。
• 借助现有无 frustration 哈密顿量的结果（例如 Bravyi 和 Hastings，2011），通过将他们的证明框架适配到加倍系统，避免从头开始重新推导稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏无 frustration 性质的情况下，是否可以证明一般具有能隙的局部自由费米子哈密顿量在弱局部微扰下的稳定性？
• RQ2 如何系统性地在自由费米子系统中消除阻碍标准无 frustration 稳定性定理应用的拓扑障碍？
• RQ3 即使每个格点上的马约拉纳算符数量无界，是否仍可为自由费米子模型实现与系统尺寸无关的统一稳定性界？
• RQ4 加倍系统构造在微扰下在多大程度上保持局域性和谱隙，从而实现对物理可观测量的严格控制？
• RQ5 该稳定性结果是否可用于证明具有局部相互作用的能隙费米子系统中霍尔电导率量化的鲁棒性？

主要发现

• 本文建立了在弱局部微扰下，具有能隙的局部自由费米子哈密顿量的稳定性定理，且稳定性界与系统尺寸无关。
• 稳定性界由谱隙 $\Delta$ 和微扰强度 $J$ 定量控制，微扰强度在演化后仍保持为 $O(J)$。
• 加倍系统构造成功消除了阻碍标准无 frustration 稳定性定理应用的拓扑障碍。
• 该方法确保微扰哈密顿量 $H_{FF} + V$ 在足够小的 $J$ 下仍保持能隙，且能隙仅受几乎指数级小的修正影响。
• 该结果意味着此类系统中霍尔电导率的量化在弱局部微扰下是鲁棒的，与文献中先前的结果一致。
• 该方法避免了对非局域变换或近似局域基的依赖，而这些方法在拓扑非平凡情况下已被证明会失效。