[论文解读] The stability of persistent homology of hypergraphs

Shiquan Ren, Jie Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文建立了超图在过滤扰动下的持久嵌入同调的稳定性，将经典同调稳定性结果从单纯复形推广至超图。证明了当子水平集保持等价的简单同伦类型时，持久贝蒂数在超图过滤扰动下保持不变，从而确保了具有群相互作用的复杂网络的鲁棒拓扑数据分析。

ABSTRACT

Hypergraph is the most general model for complex networks involving group interactions. Taking the ideas of path homology from Alexander Grigor'yan, Yong Lin, Yuri Muranov and Shing-Tung Yau [18-22], Stephane Bressan, Jingyan Li and the authors of this article introduced embedded homology of hypergraphs [6] in 2019, which has leaded to successful applications in protein-ligand binding network [24, 25] in 2021. A fundamental question arising from practical applications is about the stability of the persistent embedded homology of hypergraphs. In this paper, we prove the stability of the persistent embedded homology as well as the persistent homology of the associated simplicial complex with respect to perturbations of the filtration on a hypergraph. We apply the persistent homology methods to morphisms of hypergraphs and prove the stability with respect to perturbations of the filtrations. We prove the constancy of the persistent Betti numbers under some conditions on the simple-homotopy types of hypergraphs.

研究动机与目标

• 建立超图中持久嵌入同调的理论稳定性，这是复杂系统中可靠拓扑数据分析的关键要求。
• 解决一个基本挑战：由持久同调导出的拓扑特征在输入数据的小幅扰动下是否具有鲁棒性。
• 将经典稳定性定理由单纯复形推广至超图，后者能更自然地建模群相互作用。
• 研究持久贝蒂数在过滤变化下保持不变的条件，以确保拓扑的一致性。
• 为将持久同调应用于现实世界中的超图数据（如蛋白质-配体相互作用网络）提供理论基础。

提出的方法

• 使用实值过滤在超图上定义嵌套的子超图族，以研究拓扑持久性。
• 应用基于路径同调和链复形的嵌入同调理论于超图，构建具有等价同伦类型的下确界与上确界复形。
• 通过子水平集的嵌入同调定义超图的持久同调，并将其与相关单纯复形的持久同调进行比较。
• 使用强与弱简单同伦类型分析拓扑不变性，利用由初等坍缩与扩张诱导的链映射。
• 使用持久图与贝蒂数重数编码拓扑特征，持久贝蒂数定义为满足特定时间区间约束的图中点的和。
• 应用先前关于单纯同调的研究结果（例如 [13, 第2.3节]）将持久贝蒂数与条形码分解中的重数关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 超图的持久嵌入同调在其过滤函数发生小扰动时是否稳定？
• RQ2 在何种条件下持久贝蒂数在过滤区间内保持不变？
• RQ3 子水平超图的强与弱简单同伦类型如何影响持久同调的稳定性？
• RQ4 能否将持久同调的稳定性从单纯复形推广至具有群相互作用的超图？
• RQ5 由初等坍缩诱导的链映射在保持不同过滤层级间同调群方面起什么作用？

主要发现

• 超图嵌入同调的持久图在过滤函数的小幅扰动下保持稳定。
• 当子水平集 ℋₜᶠ 与 ℋₛᶠ 具有相同的强简单同伦类型且所有顶点均为0-超边时，持久贝蒂数 βₙ^{t,s} 保持不变。
• 当子水平集具有相同的弱简单同伦类型时，持久贝蒂数 β_Δ,n^{t,s} 保持不变。
• 当子水平集通过满足引理3.5中条件的弱初等坍缩序列关联时，持久贝蒂数 β_δ,n^{t,s} 保持不变。
• 由子水平集包含关系诱导的同调群同构，确保了在指定同伦等价下持久贝蒂数的不变性。
• 该稳定性结果将经典持久同调稳定性推广至超图，为复杂网络中的拓扑数据分析提供了鲁棒框架。