[论文解读] The stable Bernstein center and test functions for Shimura varieties

Thomas J. Haines|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用 10

一句话总结

本文发展了 $p$-进群的稳定 Bernstein 中心理论，并提出了一个关于 Shimura 岛上任意 $p$-进水平结构的 Langlands-Kottwitz 方法中测试函数的一般猜想。通过与 Langlands 对偶表示相关的稳定 Bernstein 中心中的分布，精确构造了测试函数，将 Kottwitz 的猜想推广至抛物型和更深的水平结构，并建立了与转移猜想的相容性，这对于用 $L$-函数表达 Hasse-Weil zeta 函数至关重要。

ABSTRACT

We elaborate the theory of the stable Bernstein center of a $p$-adic group $G$, and apply it to state a general conjecture on test functions for Shimura varieties due to the author and R. Kottwitz. This conjecture provides a framework by which one might pursue the Langlands-Kottwitz method in a very general situation: not necessarily PEL Shimura varieties with arbitrary level structure at $p$. We give a concrete reinterpretation of the test function conjecture in the context of parahoric level structure. We also use the stable Bernstein center to formulate some of the transfer conjectures (the "fundamental lemmas") that would be needed if one attempts to use the test function conjecture to express the local Hasse-Weil zeta function of a Shimura variety in terms of automorphic $L$-functions.

研究动机与目标

• 将 Langlands-Kottwitz 方法推广至 $p$-进水平结构任意的 Shimura 岛，超越经典的 PEL 和超特殊情形。
• 为迹公式方法研究 Shimura 岛上上同调的测试函数提出一个一般猜想。
• 定义并发展稳定 Bernstein 中心的理论，作为构造这些测试函数的框架。
• 通过稳定 Bernstein 中心中的分布，将测试函数与 Langlands 对偶群的表示联系起来。
• 建立与转移猜想（基本引理）的相容性，以用自守 $L$-函数表达 Hasse-Weil zeta 函数。

提出的方法

• 将稳定 Bernstein 中心 $\mathfrak{Z}^{\rm st}(G/F)$ 引入为 $\widehat{G}$-共轭类的可识别同态 $\lambda: W_F \to {}^L G$ 的代数簇上的正则函数环，推广了 Vogan 的方法。
• 通过卷积 $p^{rd/2}(Z_V * 1_{K_{p^r}})$ 构造测试函数 $\phi_r$，其中 $Z_V$ 是与 Langlands 对偶群 ${}^L G$ 的表示 $V$ 相关的稳定 Bernstein 中心中的分布。
• 将猜想特化至抛物型水平结构，在 $G$ 无ramified 且 $K_p$ 为抛物型时，恢复 Kottwitz 的猜想作为特例。
• 利用 Bernstein 同构，将 Hecke 代数 $\mathcal{Z}(G(\mathbb{Q}_{p^r}), K_{p^r})$ 的中心与通过表示 $V^{E_{j0}}_{-\mu,j}$ 关联的稳定 Bernstein 中心联系起来。
• 定义一个归一化的转移同态 $\tilde{t}: \mathcal{Z}(G^*(F), J^*) \to \mathcal{Z}(G(F), J)$，其与常数项映射可交换且不依赖于选择。
• 证明该转移同态与 Kottwitz 同态 $\kappa_{G^*}(F)$ 的纤维积分相容，从而实现 $\tilde{t}(z)$ 的显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Langlands-Kottwitz 方法推广至 $p$-进水平结构任意的 Shimura 岛，而不仅限于 PEL 或超特殊情形？
• RQ2 此类 Shimura 岛的迹公式中，测试函数 $\phi_r$ 的精确形式是什么？它与 Langlands 对偶群有何关系？
• RQ3 如何利用稳定 Bernstein 中心构造与局部 Langlands 对应和转移猜想相容的测试函数？
• RQ4 Bernstein 同构在将 Langlands 对偶群的表示与稳定 Bernstein 中心中的分布联系起来的过程中起什么作用？
• RQ5 如何定义 Hecke 代数之间的转移同态，使其具有唯一性，并与常数项和 Kottwitz 同态相容？

主要发现

• 测试函数猜想（猜想 6.1.1）给出了 $\phi_r = p^{rd/2}(Z_{V^{E_{j0}}_{-\mu,j}} * 1_{K_{p^r}})$ 的一般公式，其中 $Z_V$ 是与 ${}^L G$ 的表示 $V$ 相关的稳定 Bernstein 中心中的分布。
• 当 $G$ 无ramified 且 $K_p$ 为抛物型时，该猜想退化为 Kottwitz 的猜想，从而恢复已知的测试函数作为 Bernstein 函数 $z^{K_p}_{-\mu,j}$ 的幂。
• 该猜想已在 Drinfeld 情形的 Shimura 岛上 $\Gamma_1(p)$-水平结构（Haines-Rapoport 证明）以及模曲线和 Drinfeld 情形的任意水平结构（Scholze 证明）中得到证明。
• 稳定 Bernstein 中心被定义为 $\widehat{G}$-共轭类的可识别同态 $\lambda: W_F \to {}^L G$ 的代数簇上的正则函数环，为测试函数提供了几何框架。
• 构造了一个归一化的转移同态 $\tilde{t}$，其与常数项映射可交换且不依赖于选择，从而可通过 $\kappa_{G^*}(F)$-纤维上的积分实现显式计算。
• 转移同态 $\tilde{t}$ 与 Bernstein 同构相容，确保测试函数 $\tilde{t}(z)$ 是良好定义且唯一的，解决了早期表述中的缺陷。