[论文解读] The Stable Symplectic Category and Geometric Quantization

Nitu Kitchloo|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文引入了稳定辛范畴，即威恩斯坦辛范畴的稳定化版本，通过在谱上进行丰富化，解决了态射不可复合的问题。通过将态射建模为浸入拉格朗日子流形的无限循环空间，该构造确保了定义良好的复合运算，同时保留了几何时化框架，从而为辛拓扑与几何时化理论提供了稳健的范畴基础。

ABSTRACT

We study a stabilization of the symplectic category introduced by A. Weinstein as a domain for the geometric quantization functor. The symplectic category is a topological category with objects given by symplectic manifolds, and morphisms being suitable lagrangian correspondences. The main drawback of Weinstein's symplectic category is that composition of morphisms cannot always be defined. Our stabilization procedure rectifies this problem while remaining faithful to the original notion of composition. The stable symplectic category is enriched over the category of spectra (in particular, its morphisms can be described as infinite loop spaces representing the space of immersed lagrangians), and it possesses several appealing properties that are relevant to deformation, and geometric quantization.

研究动机与目标

• 解决威恩斯坦辛范畴中态射复合并非始终有定义的根本性问题。
• 以一种保持通过拉格朗日对应关系定义的原始复合概念的方式，对辛范畴进行稳定化。
• 构建一个在谱上丰富的范畴，确保态射由浸入拉格朗日子流形的无限循环空间表示。
• 提供一个与几何时化和形变理论相容的范畴框架。
• 建立一个稳定且行为良好的范畴，支持辛几何中的函子性几何时化。

提出的方法

• 通过在谱的范畴上丰富化，对辛范畴进行稳定化，以确保同伦一致性。
• 将态射表示为参数化浸入拉格朗日子流形对应的无限循环空间。
• 利用稳定同伦理论的工具，在稳定设定下将复合定义为一个行为良好的运算。
• 忠实于威恩斯坦原始通过拉格朗日对应关系定义态射的方式。
• 应用谱丰富化，以确保范畴支持形变理论与时化函子。
• 利用谱的结构将拉格朗日态射的空间建模为无限循环空间，通过同伦一致性实现复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对辛范畴进行稳定化，以在保持原始几何结构的同时确保态射复合的定义良好？
• RQ2 谱在丰富辛范畴以支持函子性几何时化的过程中起到何种作用？
• RQ3 稳定辛范畴与辛几何中的形变理论有何关联？
• RQ4 稳定范畴以何种方式保持了威恩斯坦辛范畴原始的复合规则？
• RQ5 几何时化能否在稳定化的辛范畴上一致地定义为一个函子？

主要发现

• 稳定辛范畴通过在谱上丰富化，解决了威恩斯坦辛范畴中的复合问题。
• 稳定辛范畴中的态射由浸入拉格朗日子流形的无限循环空间表示，确保了同伦一致性。
• 态射的复合现在是定义良好且与原始拉格朗日对应关系结构相容的。
• 该范畴支持自然的函子性结构用于几何时化，从而实现一致的时化程序。
• 该构造在保持原始辛范畴本质几何与拓扑特征的同时，增强了其范畴的稳健性。
• 稳定辛范畴为辛拓扑中的形变理论与时化函子提供了合适的定义域。