[论文解读] The Standard Model Algebra

Ovidiu Cristinel Stoica|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提出使用克利福德代数 𝕜ℓ₆ 对标准模型进行几何代数表述，该表述自然地编码了轻子、夸克以及电弱和色规范对称性，且无需额外粒子。通过识别两个同构的 𝕜ℓ₆ 实例——一个来自狄拉克代数和弱对称性生成元，另一个来自色对称性的三维复表示——该模型推导出裸的温伯格角 sin²θ_W = 0.25，实现了费米子与对称性的几何统一。

ABSTRACT

A simple geometric algebra is shown to contain automatically the leptons and quarks of a family of the Standard Model, and the electroweak and color gauge symmetries, without predicting extra particles and symmetries. The algebra is already naturally present in the Standard Model, in two instances of the Clifford algebra $\mathbb{C}\ell_6$, one being algebraically generated by the Dirac algebra and the weak symmetry generators, and the other by a complex three-dimensional representation of the color symmetry, which generates a Witt decomposition which leads to the decomposition of the algebra into ideals representing leptons and quarks. The two instances being isomorphic, the minimal approach is to identify them, resulting in the model proposed here. The Dirac and Lorentz algebras appear naturally as subalgebras acting on the ideals representing leptons and quarks. The resulting representations on the ideals are invariant to the electromagnetic and color symmetries, which are generated by the bivectors of the algebra. The electroweak symmetry is also present, and it is already broken by the geometry of the algebra. The model predicts a bare Weinberg angle $ heta_W$ given by $\sin^2 heta_W=0.25$. The model shares common ideas with previously known models, particularly with Chisholm and Farwell, 1996, Trayling and Baylis, 2004, and Furey, 2016.

研究动机与目标

• 展示标准模型中的轻子、夸克与规范对称性可自然地从单一几何代数结构中涌现。
• 识别克利福德代数 𝕜ℓ₆ 的两个同构实例，作为费米子与规范对称性的基础数学框架。
• 证明电弱对称性在几何上被打破，且温伯格角被预测为 sin²θ_W = 0.25。
• 将狄拉克代数与洛伦兹代数统一为作用于表示轻子与夸克的理想上的子代数。
• 确立电磁与色对称性源于代数中双矢量生成元的几何结构。

提出的方法

• 以复数克利福德代数 𝕜ℓ₆ 作为基础代数结构。
• 识别一个由狄拉克代数与弱对称性生成元生成的 𝕜ℓ₆ 实例。
• 通过色对称性的三维复表示识别第二个 𝕜ℓ₆ 实例。
• 对代数应用威特定理分解，导出代表轻子与夸克的理想。
• 将两个同构的 𝕜ℓ₆ 实例识别为统一费米子与规范结构的工具。
• 从代数中双矢量子代数推导出电磁与色对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单一几何代数结构中自然地编码一个标准模型家族的轻子与夸克？
• RQ2 电弱与色规范对称性如何从 𝕜ℓ₆ 的代数几何中涌现？
• RQ3 在此代数框架中，温伯格角的起源是什么？能否在无需现象学输入的情况下进行预测？
• RQ4 狄拉克代数与洛伦兹代数如何作为作用于费米子理想上的子代数出现？
• RQ5 是否存在通过克利福德代数实例同构实现费米子表示与规范对称性几何统一的途径？

主要发现

• 几何代数 𝕜ℓ₆ 自然地将一个标准模型家族的轻子与夸克编码为代数中的理想。
• 电弱与色规范对称性作为由代数中双矢量生成的子代数涌现。
• 狄拉克代数与洛伦兹代数作为作用于费米子理想上的子代数出现，保持其结构不变。
• 电弱对称性在几何上被打破，此表述中无需引入外部的希格斯机制。
• 该模型预测裸的温伯格角为 sin²θ_W = 0.25，与代数的几何结构一致。
• 该模型在基础思想上与 Chisholm 与 Farwell (1996)、Trayling 与 Baylis (2004)、以及 Furey (2016) 的前期工作相呼应，同时提供了一个统一的代数框架。