[论文解读] The Standard Model Algebra - Leptons, Quarks, and Gauge from the Complex Clifford Algebra Cl6

Ovidiu Cristinel Stoica|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 30被引用 15

一句话总结

本文利用复 Clifford 代数 𝕔ℓ₆，提出了对标准模型轻子、夸克及规范对称性的几何统一。结果表明，Dirac 代数与弱对称性可自然地推广至 𝕔ℓ₆，该代数可分解为表示左手与右手费米子的左理想与右理想。该模型预测裸 Weinberg 角 sin²θ_W = 0.25，且无需引入额外粒子或对称性。

ABSTRACT

A simple geometric algebra is shown to contain automatically the leptons and quarks of a family of the Standard Model, and the electroweak and color gauge symmetries, without predicting extra particles and symmetries. The algebra is already naturally present in the Standard Model, in two instances of the Clifford algebra $\mathbb{C}\ell_6$, one being algebraically generated by the Dirac algebra and the weak symmetry generators, and the other by a complex three-dimensional representation of the color symmetry, which generates a Witt decomposition which leads to the decomposition of the algebra into ideals representing leptons and quarks. The two instances being isomorphic, the minimal approach is to identify them, resulting in the model proposed here. The Dirac and Lorentz algebras appear naturally as subalgebras acting on the ideals representing leptons and quarks. The resulting representations on the ideals are invariant to the electromagnetic and color symmetries, which are generated by the bivectors of the algebra. The electroweak symmetry is also present, and it is already broken by the geometry of the algebra. The model predicts a bare Weinberg angle $θ_W$ given by $\sin^2θ_W=0.25$. The model shares common ideas with previously known models, particularly with Chisholm and Farwell, 1996, Trayling and Baylis, 2004, and Furey, 2016.

研究动机与目标

• 在单一几何代数框架内统一标准模型的费米子与规范对称性。
• 证明 Dirac 代数与弱同位spin 对称性可自然地推广至复 Clifford 代数 𝕔ℓ₆。
• 展示 𝕔ℓ₆ 的代数结构可自然地分解为表示轻子与夸克的左理想与右理想。
• 将电弱与色规范对称性作为作用于这些理想的双矢量子代数推导出来。
• 在不引入额外粒子或对称性的前提下，预测一个特定的裸 Weinberg 角值。

提出的方法

• 以复 Clifford 代数 𝕔ℓ₆ 作为基本代数结构，通过弱同位spin 生成元对 Dirac 代数 𝕔ℓ₄ 进行连续扩展而导出。
• 识别 𝕔ℓ₆ 的偶子代数，其同构于 Dirac 代数与 Lorentz 代数，从而自然地嵌入二者。
• 对 𝕔ℓ₆ 应用 Witt 分解，将代数划分为两个理想，分别对应轻子与夸克。
• 从代数中的双矢量构造电弱对称性，其中弱同位spin 生成元 T₁, T₂, T₃ 将代数扩展至 𝕔ℓ₆。
• 使用矩阵表示 τʲ = σʲ ⊗ 1₄ 和 ωʲ = τʲΓ⁵，生成 𝕔ℓ₅ 与 𝕔ℓ₆ 的完整 Clifford 基。
• 表明 𝕔ℓ₆ 的体积形式为 −iτ³，将代数结构与物理真空态联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准模型的完整结构——包括费米子与规范对称性——能否在一个单一的几何代数框架内统一？
• RQ2 Dirac 代数与弱同位spin 对称性如何自然地导出复 Clifford 代数 𝕔ℓ₆？
• RQ3 𝔠ℓ₆ 的代数分解是否能自然地产生观察到的轻子与夸克的粒子内容？
• RQ4 电弱与色规范对称性能否作为 𝕔ℓ₆ 中双矢量子代数推导出来？
• RQ5 Weinberg 角的几何起源是什么？能否在不依赖现象学输入的前提下进行预测？

主要发现

• 复 Clifford 代数 𝕔ℓ₆ 自然地包含 Dirac 代数与 Lorentz 代数作为作用于费米子理想的子代数。
• 通过 Witt 分解，该代数被划分为两个理想，一个对应轻子，另一个对应夸克，且未引入额外粒子。
• 电弱对称性由代数中的双矢量生成，且弱对称性已由代数的几何结构预先破缺。
• 电磁与色规范对称性在 𝕔ℓ₆ 的双矢量子代数作用下保持不变。
• 该模型预测裸 Weinberg 角为 sin²θ_W = 0.25，其值完全由代数结构推导得出。
• 该模型与 Chisholm & Farwell (1996)、Trayling & Baylis (2004) 以及 Furey (2016) 提出的先前模型同构，但具有更几何化且更统一的基础。