[论文解读] The Standard Model, The Exceptional Jordan Algebra, and Triality

Latham Boyle|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用 34

一句话总结

本文将复杂化的特征 Jordan 代数 h3C(O) 与 标准模型、其左右对称扩展以及 Spin(10) 联系起来，主张费米子内容源自一个复杂八元数投影平面的切空间，三代与 SO(8) 的 triality 相关。

ABSTRACT

Jordan, Wigner and von Neumann classified the possible algebras of quantum mechanical observables, and found they fell into 4 "ordinary" families, plus one remarkable outlier: the exceptional Jordan algebra. We point out an intriguing relationship between the complexification of this algebra and the standard model of particle physics, its minimal left-right-symmetric $SU(3) imes SU(2)_{L} imes SU(2)_{R} imes U(1)$ extension, and $Spin(10)$ unification. This suggests a geometric interpretation, where a single generation of standard model fermions is described by the tangent space $(\mathbb{C}\otimes\mathbb{O})^{2}$ of the complex octonionic projective plane, and the existence of three generations is related to $SO(8)$ triality.

研究动机与目标

• 动机：为何标准模型规范群可能源自特殊代数结构。
• 提出对特征 Jordan 代数的复化在左-右对称框架中自然嵌入 G_SM 与 rho_SM。
• 给出标准模型费米子作为复杂八元数投影平面的切空间的几何解释，并将代数代与 triality 联系起来。

提出的方法

• 回顾欧几里得 Jordan 代数的 Jordan–Wigner–von Neumann 分类及特征 h3(O) 的作用。
• 引入复化的 h3C(O) 并在 E6 中定义子群 tilde{H}_1 和 tilde{H}_2，与 F4中的 H1、H2 相对应。
• 将 LR 对称规范群 G_LR 确定为 tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2 的交，并显示它等于 [SU(3)×SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)]/Z6。
• 描述 E6 的 27 在 Spin(10) 下的分解为 1⊕10⊕16，其中 16 形成在受限到 G_LR 时与单个费米子内容匹配的 LR 费米子内容，然后再限制到 G_LR 得到 rho_LR。

实验结果

研究问题

• RQ1 复杂化的 h3C(O) 能否为标准模型的规范群和费米子表示提供自然嵌入？
• RQ2 交集 tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2 是否再现 G_LR 与 rho_LR 表示，从而提供 LR-对称统一的几何起源？
• RQ3 是否存在将 SO(8) triality 与三代费米子存在联系起来的几何机制？
• RQ4 魔方阵如何将 SM 费米子重新解释为复杂八元数投影平面的切空间？

主要发现

• tilde{H}_1 ∩ tilde{H}_2 在 E6 中等于 LR 规范群 G_LR，即 [SU(3)×SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)]/Z6。
• E6 的 27 在 Spin(10) 下分解为 1⊕10⊕16，其中 16 在限制到 G_LR 时构成 LR 费米子内容。
• 在 LR 群下，16 分解为 (3,2,1,+1/6)⊕(3̄,1,2,−1/6)⊕(1,2,1,−1/2)⊕(1,1,2,+1/2)，与提出的 LR 费米子表示 ρ_LR 相匹配。
• 复杂八元数投影平面 (C⊗O)P^2 的切空间，即 (C⊗O)^2，在适当限制下提供 Spin(10) 的 16 以及 LR 与 SM 表示。
• 该框架将三代概念与 SO(8) 试性对称性及 E6 的魔方阵视角联系起来，提示代结构的几何起源。