[论文解读] The stationary measure of a space-inhomogeneous quantum walk on the line

Takako Endo, Norio Konno|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用 25

一句话总结

本文研究了 Wojcik 模型的平稳测度，该模型是线路上具有原点单个相位缺陷的空间非均匀量子行走。通过分裂生成函数法（SGF 方法），作者推导出一个显式、对称的平稳测度，其在位置上呈指数衰减，证实了局域化行为依赖于初始叠加态，且与 Wojcik 等人的先前工作结果一致。

ABSTRACT

We study a discrete-time quantum walk (QW) on the line with a single phase at the origin which was introduced and studied by Wojcik et al.[1]. We call the model "Wojcik model" here. Konno et al.[2] investigated other types of QWs with one defect at the origin. They presented a method which gives the stationary measure corresponding to localization for the QWs by use of the generating functions splitted in positive and negative parts respectively. In this paper, we call the method "the splitted generating function method (the SGF method)". To clarify in detail which QW is appropriate for the method in the case of study is one of the important challenges to investigate localization properties for various QWs. As for the Wojcik model, we solve the eigenvalue problem by the SGF method and our results agree with Ref.[1]. From the solution of the problem, we derive a stationary measure with an exponential decay for the position. The explicit expression for the stationary measure is symmetric for the origin and ensures localization depending on the initial coin state.

研究动机与目标

• 研究 Wojcik 模型的平稳测度，该模型是原点处具有单个相位缺陷的离散时间量子行走。
• 确定分裂生成函数法（SGF 方法）在具有局域化的空间非均匀量子行走中的适用性。
• 推导平稳测度的显式解析表达式，并验证其对称性与指数衰减特性。
• 在 SGF 方法的框架下，阐明初始叠加态对局域化行为的影响。

提出的方法

• 通过将概率振幅的生成函数拆分为正负部分，应用 SGF 方法求解特征值问题。
• 在负轴上使用左分量的生成函数 $ f^{L}_{\text{--}}(z) $ 和右分量的生成函数 $ f^{R}_{\text{--}}(z) $，并在正轴上采用类似形式。
• 求解过程基于时间演化规则 $ \Psi_{n+1}(x) = P_{x+1}\Psi_n(x+1) + Q_{x-1}\Psi_n(x-1) $ 导出的函数方程组。
• 平稳测度由振幅的渐近行为导出，涉及与特征值相关的复参数 $ \theta_s $。
• 通过验证在特定初始态条件下，多个 $ \theta_s $ 的表达式均产生一致结果，确保方法的一致性。
• 通过将推导出的 $ \lambda^2 $ 和 $ \theta_s^2 $ 表达式与 Wojcik 等人的工作结果比对，验证了方法的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 SGF 方法是否适用于具有单个缺陷的空间非均匀量子行走，如 Wojcik 模型？
• RQ2 Wojcik 模型的平稳测度的显式形式是什么？其是否表现出指数衰减？
• RQ3 初始叠加态如何影响平稳测度与局域化行为？
• RQ4 SGF 方法能否重现先前研究（如 Wojcik 等人）中的已知结果？
• RQ5 在 Wojcik 模型中，何种初始态条件可导致对称的平稳测度？

主要发现

• Wojcik 模型的平稳测度关于原点对称，由 $ x > 0 $、$ x = 0 $ 和 $ x < 0 $ 处推导出的振幅表达式所证实。
• 平稳测度在位置上表现出指数衰减，振幅与 $ \theta_s^{-|x|} $ 成正比（$ x \neq 0 $），其中 $ \theta_s $ 是由初始态导出的复参数。
• 当 $ \beta = i\alpha $ 时，$ \lambda^2 $ 的表达式与参考文献 [1] 中的 $ \lambda_- $ 一致；当 $ \beta = -i\alpha $ 时，与 $ \lambda_+ $ 一致，证实了与先前工作的相符性。
• 平方参数 $ \theta_s^2 $ 仅以 $ \omega $ 表示，对于 $ \beta = i\alpha $，有 $ \theta_s^2 = \frac{\omega}{\omega^2 - 3\omega + 1 - i(\omega^2 - 1)} $，而对于 $ \beta = -i\alpha $，则为共轭形式。
• 推导出的 $ \theta_s^2 $ 表达式与参考文献 [1] 中的式 (A13) 定义的 $ x_- $ 和 $ x_+ $ 完全一致，验证了方法的有效性。
• 平稳测度证实了局域化现象，概率密度在远离原点时呈指数衰减，且局域化强度取决于初始叠加态。