[论文解读] The statistical properties of the volatility of price fluctuations

Yanhui Liu, Parameswaran Gopikrishnan+4 more|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 24, 1999

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 6

一句话总结

本文利用标普500指数及美国500家最大公司股票的高频数据，研究了金融市场波动率的统计特性。研究发现，波动率服从幂律分布，指数为1 + μ ≈ 4，表现出幂律衰减的长程相关性，并在不同时间区间上呈现标度特性，表明波动率聚集中现象在多个时间尺度上持续存在。

ABSTRACT

We study the statistical properties of volatility---a measure of how much the market is likely to fluctuate. We estimate the volatility by the local average of the absolute price changes. We analyze (a) the S&P 500 stock index for the 13-year period Jan 1984 to Dec 1996 and (b) the market capitalizations of the largest 500 companies registered in the Trades and Quotes data base, documenting all trades for all the securities listed in the three major stock exchanges in the US for the 2-year period Jan 1994 to Dec 1995. For the S&P 500 index, the probability density function of the volatility can be fit with a log-normal form in the center. However, the asymptotic behavior is better described by a power-law distribution characterized by an exponent 1 + μ\approx 4. For individual companies, we find a power law asymptotic behavior of the probability distribution of volatility with exponent 1 + μ\approx 4, similar to the S&P 500 index. In addition, we find that the volatility distribution scales for a range of time intervals. Further, we study the correlation function of the volatility and find power law decay with long persistence for the S&P 500 index and the individual companies with a crossover at approximately 1.5 days. To quantify the power-law correlations, we apply power spectrum analysis and a recently-developed modified root-mean-square analysis, termed detrended fluctuation analysis (DFA). For the S&P 500 index, DFA estimates for the exponents characterizing the power law correlations are α_1=0.66 for short time scales (within \approx 1.5 days) and α_2=0.93 for longer time scales (up to a year). For individual companies, we find α_1=0.60 and α_2=0.74, respectively. The power spectrum gives consistent estimates of the two power-law exponents.

研究动机与目标

• 理解金融市场波动率的统计分布，特别是其尾部行为与标度特性。
• 检验波动率是否在不同时间尺度上表现出长程相关性与持久性。
• 评估波动率的统计特性在宽基市场指数与个股之间是否一致。
• 应用先进的统计技术量化波动率时间序列中的长记忆效应。

提出的方法

• 波动率通过在滑动时间窗内对价格绝对变动的局部平均进行估计。
• 对波动率概率密度函数的尾部分布应用幂律拟合，以估计指数1 + μ。
• 采用去趋势波动分析（DFA）量化波动率中的长程相关性，分别估计短时间尺度与长时间尺度的标度指数α₁与α₂。
• 应用功率谱分析以验证通过DFA获得的标度指数。
• 分析基于两组数据：标普500指数（1984–1996）与美国500家最大公司市值（1994–1995）。
• 在多个时间区间上检验波动率分布的标度行为，以评估自相似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 金融市场波动率的概率分布函数形式为何？
• RQ2 个股与宽基市场指数在波动率分布的统计特性上是否表现出相似性？
• RQ3 波动率冲击的持久性持续多长时间，其衰减是否符合幂律特征？
• RQ4 在不同时间 horizon 上，波动率分布是否存在任何标度行为？

主要发现

• 标普500指数及个股的波动率概率密度函数呈现幂律尾部，指数为1 + μ ≈ 4，表明具有重尾行为。
• 波动率的自相关函数以幂律方式衰减，拐点出现在约1.5天，表明存在长程依赖性。
• 对于标普500指数，DFA得出的标度指数为α₁ = 0.66（短时间尺度）与α₂ = 0.93（长时间尺度），与幂律相关性一致。
• 对于个股，DFA估计的指数为α₁ = 0.60与α₂ = 0.74，表明存在相似但略弱的长记忆效应。
• 功率谱分析证实了DFA中观察到的两个不同标度区间，增强了结果的稳健性。
• 波动率分布可在一系列时间区间上实现标度，表明金融波动率具有自相似性或多重分形特征。