[论文解读] The Steady Boltzmann and Navier-Stokes Equations

Kazuo Aoki, François Golse+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文研究了有界区域内稳态玻尔兹曼方程与不可压缩纳维-斯托克斯方程之间的数学相似性与差异。研究发现，粘性加热——取决于弗劳德数与马赫数之比——决定了玻尔兹曼方程的解是否收敛至纳维-斯托克斯-傅里叶系统。关键的是，尽管在光滑外力作用下纳维-斯托克斯方程始终存在光滑解，但玻尔兹曼方程在相同条件下可能根本不存在解，除非外力为零，这种失效现象与演化问题的数值模拟中温度升高的现象密切相关。

ABSTRACT

The paper discusses the similarities and the differences in the mathematical theories of the steady Boltzmann and incompressible Navier-Stokes equations posed in a bounded domain. First we discuss two different scaling limits in which solutions of the steady Boltzmann equation have an asymptotic behavior described by the steady Navier-Stokes Fourier system. Whether this system includes the viscous heating term depends on the ratio of the Froude number to the Mach number of the gas flow. While the steady Navier-Stokes equations with smooth divergence-free external force always have at least one smooth solutions, the Boltzmann equation with the same external force set in the torus, or in a bounded domain with specular reflection of gas molecules at the boundary may fail to have any solution, unless the force field is identically zero. Viscous heating seems to be of key importance in this situation. The nonexistence of any steady solution of the Boltzmann equation in this context seems related to the increase of temperature for the evolution problem, a phenomenon that we have established with the help of numerical simulations on the Boltzmann equation and the BGK model.

研究动机与目标

• 分析有界区域内稳态玻尔兹曼方程与不可压缩纳维-斯托克斯方程之间的数学相似性与差异。
• 确定在何种尺度极限下，稳态玻尔兹曼方程渐近趋近于稳态纳维-斯托克斯-傅里叶系统。
• 研究为何玻尔兹曼方程在光滑非零外力作用下可能无法存在解，而纳维-斯托克斯方程却始终可以。
• 探讨这种解不存在现象的物理根源，特别是粘性加热与时间演化解中温度升高的作用。
• 建立稳态纳维-斯托克斯方程解的非唯一性与玻尔兹曼方程中观测到的数值分岔之间的联系。

提出的方法

• 在不同尺度假设下，从稳态玻尔兹曼方程形式推导不可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶系统的两种变体。
• 分析周期边界条件设置，以比较玻尔兹曼方程与纳维-斯托克斯方程的解存在性。
• 在速度空间中使用高斯平均与正交关系，计算碰撞算子的矩。
• 应用张量分解技术，评估依赖速度的场（如 $ A_{ij} $、$ B_i $ 和 $ C_{jkl} $）的统计矩。
• 对时间依赖的玻尔兹曼方程与BGK模型进行数值模拟，研究温度演化与粘性加热效应。
• 使用泛函分析工具，包括线性化碰撞算子 $ ilde{L} $，分析解的结构及其正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种尺度极限下，稳态玻尔兹曼方程收敛至稳态纳维-斯托克斯-傅里叶系统？
• RQ2 为何在光滑非零外力作用下，稳态玻尔兹曼方程无法存在解，而纳维-斯托克斯方程却始终可以？
• RQ3 弗劳德数与马赫数之比如何决定玻尔兹曼方程在流体动力学极限中是否出现粘性加热？
• RQ4 粘性加热在玻尔兹曼方程非零外力下解不存在现象中起什么作用？
• RQ5 时间演化玻尔兹曼方程的数值模拟如何揭示解失效背后的物理机制？

主要发现

• 在光滑且散度为零的外力作用下，稳态纳维-斯托克斯方程在任意域内始终至少存在一个光滑解。
• 相比之下，在环面或具有镜面反射边界条件的有界域中，若外力非零，稳态玻尔兹曼方程可能根本不存在解。
• 在流体动力学极限中是否出现粘性加热，关键取决于气体流动的弗劳德数与马赫数之比。
• 对时间演化玻尔兹曼方程与BGK模型的数值模拟显示温度显著上升，表明这种加热效应是稳态下解不存在的关键原因。
• 玻尔兹曼方程在非零外力下稳态解的不存在性，物理上与时间演化中观测到的温度无界增长有关，后者阻碍了稳态的形成。
• 张量矩计算表明 $ \nu = \frac{1}{15}\langle|v|^4 \alpha(|v|)\rangle > 0 $，证实了由线性化碰撞算子导出的粘性系数为正。