[论文解读] The Steiner 4-diameter of a graph

Zhao Wang, Yaping Mao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Graph theory and applications参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文通过分析非割点结构与环配置，刻画了斯坦纳4-直径为3、4或n−1的图。研究证明，当且仅当图G同构于六种特定图类型之一时，sdiam₄(G) = n−1：T_{a,b,c,d}、△_{a,b,c,d}、△′_{a,b,c,d}、G₁、G₂或G₃，其条件基于非割点与环相交的约束。

ABSTRACT

The Steiner distance of a graph, introduced by Chartrand, Oellermann, Tian and Zou in 1989, is a natural generalization of the concept of classical graph distance. For a connected graph $G$ of order at least $2$ and $S\subseteq V(G)$, the \emph{Steiner distance} $d_G(S)$ among the vertices of $S$ is the minimum size among all connected subgraphs whose vertex sets contain $S$. Let $n,k$ be two integers with $2\leq k\leq n$. Then the \emph{Steiner $k$-eccentricity $e_k(v)$} of a vertex $v$ of $G$ is defined by $e_k(v)=\max \{d(S)\,|\,S\subseteq V(G), \ |S|=k, \ and \ v\in S \}$. Furthermore, the \emph{Steiner $k$-diameter} of $G$ is $sdiam_k(G)=\max \{e_k(v)\,|\, v\in V(G)\}$. In 2011, Chartrand, Okamoto and Zhang showed that $k-1\leq sdiam_k(G)\leq n-1$. In this paper, graphs with $sdiam_4(G)=3,4,n-1$ are characterized, respectively.

研究动机与目标

• 刻画所有阶为n且斯坦纳4-直径sdiam₄(G) = 3的连通图G。
• 刻画所有阶为n且斯坦纳4-直径sdiam₄(G) = 4的连通图G。
• 刻画所有阶为n且斯坦纳4-直径sdiam₄(G) = n−1的连通图G，识别出实现该最大值的图族。
• 建立关于非割点与环相交的结构条件，以确定斯坦纳4-直径。
• 通过为k=4提供精确刻画，拓展先前对斯坦纳k-直径的界。

提出的方法

• 使用非割点的概念，并应用从子图H的非割点到完整图G的非割点的单射映射，以保持结构约束。
• 应用推论2与推论3，根据环长与相交性质，界定非割点的数量。
• 分析长度为3或4的环Cᵢ的G∖V(Cᵢ)结构，表明其必须是成对独立路径的并集。
• 基于围长c(G)进行分类讨论，区分c(G)=3、c(G)=4与c(G)≥5三种情况。
• 利用若c(G) ≥ 5则sdiam₄(G) ≤ n−2的事实，排除此类图实现最大直径的可能性。
• 构造显式图族（T_{a,b,c,d}、△_{a,b,c,d}、△′_{a,b,c,d}、G₁、G₂、G₃）以表示所有满足sdiam₄(G) = n−1的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些图能实现最小可能的斯坦纳4-直径，即sdiam₄(G) = 3？
• RQ2 哪些图能实现次小可能的斯坦纳4-直径，即sdiam₄(G) = 4？
• RQ3 对于阶为n的连通图G，sdiam₄(G) = n−1的精确结构条件是什么？
• RQ4 环的数量与相交模式如何影响斯坦纳4-直径？
• RQ5 非割点在决定图的斯坦纳4-直径中起什么作用？

主要发现

• 斯坦纳4-直径为sdiam₄(G) = 3的图被刻画为：每个4个顶点的子集均有大小为3的斯坦纳树，意味着其具有高度中心化的结构。
• 斯坦纳4-直径为sdiam₄(G) = 4的图被刻画为：非割点数至多为四个，且不含长度为5或以上的环。
• 斯坦纳4-直径的最大可能值sdiam₄(G) = n−1成立，当且仅当图G同构于六种特定图类型之一：T_{a,b,c,d}、△_{a,b,c,d}、△′_{a,b,c,d}、G₁、G₂或G₃。
• 若图G包含长度至少为5的环，则sdiam₄(G) ≤ n−2，因此此类图无法实现最大直径。
• 当图G的围长为4时，非割点数恰好为四个，且图必须同构于G₁、G₂或G₃。
• 对于围长为3的图，其结构由三角形的数量与相交模式决定；若仅有一个三角形，则G ≅ △_{a,b,c,d}；若存在两个不相交或相交的三角形，则G ≅ △′_{a,b,c,d}。