[论文解读] The Stieltjes constants, their relation to the eta_j coefficients, and representation of the Hurwitz zeta function

Mark W. Coffey|ArXiv.org|Jun 3, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文建立了 Stieltjes 常数 γₖ(1) 与 ζ′(s)/ζ(s) 的洛朗展开中出现的 ηⱼ 系数之间的新关系，推导出 γₖ(a) 的新积分与级数表示，并将 Li 准则和 S₂(n) 分解为 O(n) 个分量 Sγ(n) 与 SΛ(n)。主要贡献在于证明 |Sγ(n) + n| = O(n¹ᐟ⁴)，表明振荡子和 S₂Λ(n) 通过次指数增长界控制黎曼猜想的有效性。

ABSTRACT

The Stieltjes constants gamma_k(a) are the expansion coefficients in the Laurent series for the Hurwitz zeta function about its only pole at s=1. We present the relation of gamma_k(1) to the eta_j coefficients that appear in the Laurent expansion of the logarithmic derivative of the Riemann zeta function about its pole at s=1. We obtain novel integral representations of the Stieltjes constants and new decompositions such as S_2(n) = S_gamma(n) + S_Lambda(n) for the crucial oscillatory subsum of the Li criterion for the Riemann hypothesis. The sum S_γ(n) is O(n) and we present various integral representations for it. We present novel series representations of S_2(n). We additionally present a rapidly convergent expression for γ_k= γ_k(1) and a variety of results pertinent to a parameterized representation of the Riemann and Hurwitz zeta functions.

研究动机与目标

• 阐明 Stieltjes 常数 γₖ(1) 与 ζ′(s)/ζ(s) 的洛朗展开中出现的 ηⱼ 系数之间的解析关系。
• 推导 Stieltjes 常数 γₖ(a) 与 Hurwitz zeta 函数的新积分与级数表示。
• 将 Li 准则和 S₂(n) 分解为 Sγ(n) + SΛ(n)，其中 Sγ(n) 为 O(n)，而 SΛ(n) 捕获与黎曼猜想相关的振荡子和。
• 分析 Sγ(n) 与 S₂Λ(n) 的渐近增长，特别是建立 |Sγ(n) + n| 的 O(n¹ᐟ⁴) 界，从而约束 S₂(n) 的行为。
• 提供一个将拉盖尔多项式、狄利克雷级数与 zeta 函数零点联系至 Li/Keiper 常数与黎曼猜想的框架。

提出的方法

• 通过冯·曼戈尔特函数与渐近展开，推导出关联 γₖ(1) 与 ηₖ 的新恒等式，形式为 ∑[1−Λ(m)]/m ⋅ lnᵏm。
• 利用复分析与涉及 lnᵏ(a−iy) 和函数 1/(e²πy−1) 的围线积分实部，引入 γₖ(a) 的积分表示。
• 应用拉盖尔多项式 Lₙ₋₁¹(x) 将 S₂(n) 表示为对 ηₘ₋₁ 系数的求和，从而实现积分与渐近分析。
• 利用费杰尔对拉盖尔多项式的渐近公式，估计 Sγ(n) 的振荡行为，表明其增长为 O(n¹ᐟ⁴)。
• 建立分解 S₂(n) = Sγ(n) + SΛ(n)，其中 Sγ(n) = ∫₁^∞ (1/t)Lₙ₋₁¹(ln t)dP₁(t)，而 SΛ(n) = ∑[1−Λ(m)]/m ⋅ Lₙ₋₁¹(ln m)。
• 应用 Lₙ₋₁¹(x) 的拉普拉斯变换，将 Li/Keiper 常数与 zeta 函数零点联系起来，并推导出 Lₙ(s) 的函数方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 Stieltjes 常数 γₖ(1) 与 ζ′(s)/ζ(s) 的洛朗展开中出现的 ηⱼ 系数之间有何关系？
• RQ2 Stieltjes 常数 γₖ(a) 的新积分与级数表示是什么？它们如何扩展 Hurwitz zeta 函数的解析结构？
• RQ3 分解 S₂(n) = Sγ(n) + SΛ(n) 如何揭示黎曼猜想的 Li 准则？
• RQ4 O(n) 分量 Sγ(n) 的渐近增长行为是什么？它如何影响振荡子和 S₂Λ(n)？
• RQ5 是否可以通过控制 S₂Λ(n) 的增长来验证黎曼猜想？该和的最优阶量级是什么？

主要发现

• Stieltjes 常数 γₖ(1) 与 ηⱼ 系数通过恒等式 (−1)ᵏ/k! γₖ − ηₖ = (−1)ᵏ/k! ∑[1−Λ(m)]/m ⋅ lnᵏm 相关联，对 k ≥ 0 成立。
• 推导出 γₖ(a) 的新积分表示：γₖ(a) = (1/(2a))lnᵏa − lnᵏ⁺¹a/(k+1) + (2/a) Re ∫₀^∞ [(y/a−i)lnᵏ(a−iy)] / [(1+y²/a²)(e²πy−1)] dy。
• 和 S₂(n) 分解为 S₂(n) = Sγ(n) + SΛ(n)，其中 Sγ(n) 为 O(n)，且具有积分形式 ∫₁^∞ (1/t)Lₙ₋₁¹(ln t)dP₁(t)。
• 振荡分量 |Sγ(n) + n| 的增长为 O(n¹ᐟ⁴)，由拉盖尔多项式的费杰尔渐近公式导出。
• 和 SΛ(n) = n + S₂Λ(n) 被证明接近 n，带有微小的振荡修正项 S₂Λ(n)，其增长决定了黎曼猜想的有效性。
• 推导出拉盖尔多项式 Lₙ₋₁¹(x) 的拉普拉斯变换的函数方程 Lₙ(s) = −(1−1/s)ⁿLₙ(1−s)，将其与临界线及 zeta 函数零点联系起来。