[论文解读] The Stochastic Matching Problem: Beating Half with a Non-Adaptive Algorithm

Sepehr Assadi, Sanjeev Khanna+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文提出了首个非自适应算法来解决随机匹配问题，其近似比严格优于 1/2，通过构建一个最大度为 $ O\left(\frac{\log(1/p)}{p}\right) $ 的子图，使得该子图在真实实现中的期望匹配大小至少为 $ \frac{1}{2} + \delta_0 $，其中 $ \delta_0 > 0 $ 为绝对常数。其关键技术贡献是一个结构结果：任何期望最大匹配大小为 $ \text{opt} $ 的图，均包含一个大小为 $ b \cdot \text{opt} $ 的 $ b $-匹配，其中 $ b = \frac{1}{p} $，该结果使得突破 1/2 的近似瓶颈成为可能。

ABSTRACT

In the stochastic matching problem, we are given a general (not necessarily bipartite) graph $G(V,E)$, where each edge in $E$ is realized with some constant probability $p > 0$ and the goal is to compute a bounded-degree (bounded by a function depending only on $p$) subgraph $H$ of $G$ such that the expected maximum matching size in $H$ is close to the expected maximum matching size in $G$. The algorithms in this setting are considered non-adaptive as they have to choose the subgraph $H$ without knowing any information about the set of realized edges in $G$. Originally motivated by an application to kidney exchange, the stochastic matching problem and its variants have received significant attention in recent years. The state-of-the-art non-adaptive algorithms for stochastic matching achieve an approximation ratio of $\frac{1}{2}-ε$ for any $ε> 0$, naturally raising the question that if $1/2$ is the limit of what can be achieved with a non-adaptive algorithm. In this work, we resolve this question by presenting the first algorithm for stochastic matching with an approximation guarantee that is strictly better than $1/2$: the algorithm computes a subgraph $H$ of $G$ with the maximum degree $O(\frac{\log{(1/ p)}}{p})$ such that the ratio of expected size of a maximum matching in realizations of $H$ and $G$ is at least $1/2+δ_0$ for some absolute constant $δ_0 > 0$. The degree bound on $H$ achieved by our algorithm is essentially the best possible (up to an $O(\log{(1/p)})$ factor) for any constant factor approximation algorithm, since an $Ω(\frac{1}{p})$ degree in $H$ is necessary for a vertex to acquire at least one incident edge in a realization.

研究动机与目标

• 解决非自适应算法在随机匹配问题中 1/2 是否为根本极限这一问题。
• 设计一种非自适应算法，使其近似比严格大于 1/2。
• 建立关于图中高期望匹配大小的 $ b $-匹配结构结果，其中 $ b = \frac{1}{p} $。
• 在保持图 $ G $ 中期望匹配大小的常数因子近似的同时，最小化子图 $ H $ 的最大度。
• 朝着实现 $ (1 - \varepsilon) $-近似比的非自适应算法取得进展，解决 Blum 等人（EC 2015）提出的一个开放问题。

提出的方法

• 在原始图 $ G $ 中构造一个 $ \frac{1}{p} $-匹配 $ B $，其大小约为 $ \frac{\text{opt}}{p} $，利用该结构引理，即此类 $ b $-匹配在边被实现后仍能保持较高的期望匹配大小。
• 使用概率方法证明：大小为 $ \frac{\text{opt}}{p} $ 的 $ \frac{1}{p} $-匹配在实现中可产生至少 $ \frac{\text{opt}}{3} $ 的期望匹配大小，后经精细化分析改进为约 $ 0.4 \cdot \text{opt} $。
• 应用稀疏化技术，将所得子图 $ H $ 的最大度降低至 $ O\left(\frac{\log(1/p)}{p}\right) $，确保度数与图的大小无关。
• 利用线性规划松弛和约束松弛来界定实现中的期望匹配大小，推导出下界 $ \left(\frac{1}{2} + \frac{p^2}{4} - \frac{p_0^2}{10^4}\right) \cdot \text{opt} $。
• 利用小 $ p $ 时近似比趋近于 0.52 的事实，且对任意 $ p \in (0,1) $，该比值至少为 $ \frac{1}{2} + \delta_0 $，其中 $ \delta_0 > 0 $ 为绝对常数。
• 证明该度数界几乎是最优的，因为由于边实现概率的约束，任何常数因子近似均需 $ \Omega(1/p) $ 的度数。

实验结果

研究问题

• RQ1 非自适应随机匹配算法能否实现严格大于 1/2 的近似比？
• RQ2 在随机匹配问题中，是否可以通过有界度数的子图突破非自适应算法的 1/2 障碍？
• RQ3 具有高期望匹配大小的图的何种结构特性，能够实现对 1/2 以上的改进近似？
• RQ4 能否利用 $ b = \frac{1}{p} $ 的 $ b $-匹配引理，推导出具有优于 1/2 近似比的非自适应算法？
• RQ5 是否可能通过度数为 $ f(\varepsilon, p) $ 的子图，实现非自适应算法的 $ (1 - \varepsilon) $-近似？

主要发现

• 本文提出了一种非自适应算法，其近似比为 $ \frac{1}{2} + \delta_0 $，其中 $ \delta_0 > 0 $ 为绝对常数，严格优于 1/2 的阈值。
• 当 $ p $ 足够小时，该算法的近似比至少达到 0.52，优于以往的 $ \frac{1}{2} - \varepsilon $ 边界。
• 子图 $ H $ 的最大度为 $ O\left( \frac{\log(1/p)}{p} \right) $，在对数因子范围内几乎是最优的。
• 结构引理表明：任何期望最大匹配大小为 $ \text{opt} $ 的图，均包含一个大小约为 $ \frac{\text{opt}}{p} $ 的 $ \frac{1}{p} $-匹配，其在实现后可产生至少 $ \frac{\text{opt}}{3} $ 的匹配大小，后经优化分析提升至约 $ 0.4 \cdot \text{opt} $。
• 该算法在所有 $ p \in (0,1) $ 下表现稳健，确保在 1/2 之上保持一个常数加法间隙 $ \delta_0 > 0 $。
• 度数界本质上是紧的，因为由于顶点需在实现中至少有一条关联边，任何常数因子近似均需 $ \Omega(1/p) $ 的度数。