[论文解读] The stochastic primitive equations with non-isothermal turbulent pressure

Antonio Agresti, Matthias Hieber+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文引入並建立了帶有非等溫湍流壓力與輸運噪聲的隨機原始方程的全域適定性，該方程由納維-斯托克斯方程透過隨機布辛涅斯克與準靜力近似推導而成。主要貢獻在於證明了伊tô與斯特拉托諾維奇形式下的 $ H^1 $-適定性，並提出創新能量估計與初始資料的連續依賴性，即使在等溫情形下亦成立。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the primitive equations with $ extit{non}$-isothermal turbulent pressure and transport noise. They are derived from the Navier-Stokes equations by employing stochastic versions of the Boussinesq and the hydrostatic approximations. The temperature dependence of the turbulent pressure can be seen as a consequence of an additive noise acting on the small vertical dynamics. For such a model we prove global well-posedness in $H^1$ where the noise is considered in both the Itô and Stratonovich formulations. Compared to previous variants of the primitive equations, the one considered here presents a more intricate coupling between the velocity field and the temperature. The corresponding analysis is seriously more involved than in the deterministic setting. Finally, the continuous dependence on the initial data and the energy estimates proven here are new, even in the case of isothermal turbulent pressure.

研究动机与目标

• 模擬因熱漲落作用於小尺度垂直動力而產生的非等溫湍流壓力之地球流體動力學現象。
• 將輸運噪聲納入原始方程，其動機來自克萊奇南的湍流理論與亞格子尺度參數化方法。
• 在伊tō與斯特拉托諾維奇兩種形式下，建立所產生隨機系統在 $ H^1 $ 穩定性下的全域適定性。
• 提出新的能量估計與初始資料的連續依賴性分析，超越先前的確定性與等溫隨機設定。
• 嚴謹分析溫度依賴的湍流壓力所導致的速度與溫度之間增強耦合效應，此效應增加了數學複雜度。

提出的方法

• 透過隨機布辛涅斯克與準靜力近似，從納維-斯托克斯方程推導隨機原始方程。
• 將非等溫湍流壓力建模為作用於垂直動力的加法性噪聲之結果，進而引入壓力項中的溫度依賴性。
• 採用輸運噪聲（克萊奇南型）以表徵速度與溫度場中的亞格子尺度隨機性。
• 應用準靜力亥姆霍茲投影，將系統重構為速度與溫度之間耦合的隨機偏微分方程組。
• 運用隨機最大正則性與基於 $ H^1 $-空間的先驗估計，以控制非線性項與噪聲項。
• 透過時間與空間上的詳細 $ L^2 $-估計（包含鞅與梯度噪聲項），建立能量估計與連續依賴性。

实验结果

研究问题

• RQ1 溫度依賴的湍流壓力之引入，如何影響隨機原始方程的適定性與正則性？
• RQ2 在伊tō與斯特拉托諾維奇噪聲形式下，是否能為具有非等溫湍流壓力的隨機原始方程建立全域 $ H^1 $-適定性？
• RQ3 輸運噪聲對地球流體模型中速度與溫度場之間耦合效應有何影響？
• RQ4 與等溫或確定性設定相比，非等溫情形下的能量估計與初始資料連續依賴性有何差異？
• RQ5 非等溫壓力項是否引入了超越標準隨機原始方程之分析挑戰？

主要发现

• 在伊tō與斯特拉托諾維奇兩種形式下，均確立了具有非等溫湍流壓力之隨機原始方程在 $ H^1 $ 穩定性下的全域適定性。
• 即使在等溫情形下，本文所導出的能量估計亦屬創新，為解提供了更強的先驗控制。
• 已證明初始資料的連續依賴性，將正則性與穩定性分析推廣至先前結果之外。
• 由於湍流壓力具有溫度依賴性，系統展現出更複雜的速度與溫度耦合關係，從而增加分析複雜度。
• 透過運用隨機最大正則性與詳細的 $ L^2 $-估計，成功控制了非線性項與噪聲的交互作用，特別是涉及垂直導數的項。
• 證明斯特拉托諾維奇形式等價於帶有由噪聲二次變異產生之附加漂移項的伊tō型系統，且全域存在性得以保持。