[论文解读] The Stochastic-Quantum Theorem

Jacob A. Barandes|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2023

Quantum Mechanics and Applications被引用 9

一句话总结

本文介绍广义随机系统，并证明一个定理，建立任何此类系统与单位演化的量子系统之间的对应关系，从而形成量子理论的新表述，并对随机过程的量子仿真具有影响。

ABSTRACT

This paper introduces several new classes of mathematical structures that have close connections with physics and with the theory of dynamical systems. The most general of these structures, called indivisible stochastic processes, collectively encompass many important kinds of stochastic processes, including Markov chains and random dynamical systems. This paper then states and proves a new theorem that establishes a precise correspondence between any indivisible stochastic process and a unitarily evolving quantum system. This theorem therefore leads to a new formulation of quantum theory, alongside the Hilbert-space, path-integral, and quasi-probability formulations. The theorem also provides a first-principles explanation for why quantum systems are based on the complex numbers, Hilbert spaces, linear-unitary time evolution, and the Born rule. In addition, the theorem suggests that by selecting a suitable Hilbert space, together with an appropriate choice of unitary evolution, one can simulate any indivisible stochastic process on a quantum computer, thereby potentially opening up an extensive set of novel applications for quantum computing.

研究动机与目标

• 激励需要比标准动力系统更灵活的数学结构来建模物理过程。
• 引入包含马尔可夫链和随机动力系统在内的广义随机系统。
• 陈述并证明一个将广义随机系统与单位演化的量子系统联系起来的定理。
• 给出一个从第一原理出发的解释，说明量子理论为何使用复希尔伯特空间、线性-单位时间演化以及 Born 规则。
• 通过对广泛类别的随机过程进行仿真，提出在量子计算中的潜在应用。

提出的方法

• 将广义随机系统定义为元组 (C, T, Γ, p, A)，其中包括配置信息空间、随机映射、概率分布以及随机变量代数。
• 通过随机映射 Γ(t) 表示时间演化，并使用贝叶斯边缘化 p(t) = Γ(t) p(0)。
• 引入线性代数结构（转移矩阵、概率向量）来形式化随机动力学。
• 通过明确构造随机系统和具有单位演化的量子系统之间的对应关系，证明随机-量子定理。
• 讨论推论并用一个简单示例说明该构造。
• 提供一个框架，产生一种与希尔伯特空间、路径积分和准概率形式不同的新量子表述语言。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义随机系统是否能够被精确映射为单位演化的量子系统？
• RQ2 哪些条件使得随机系统能够对应量子动力学，以及从这种映射中会出现量子理论的哪些特征（复数、线性、Born 规则）？
• RQ3 随机-量子对应如何为量子理论提供超越现有形式的新表述？
• RQ4 单位演化是否可以在量子计算机上高效地模拟广义非马尔可夫随机过程？

主要发现

• 在广义随机系统与单位演化的量子系统之间建立了精确的对应关系。
• 给出一个从第一原理解释，说明量子理论为何使用复希尔伯特空间、线性-单位时间演化以及 Born 规则。
• 提出一种新颖的随机-量子量子理论表述，与希尔伯特空间、路径积分和准概率方法不同。
• 证明通过选择合适的希尔伯特空间与单位演化，量子系统能够模拟广义随机系统的广泛类别。
• 概述对量子计算的实际影响，使使用量子硬件对非马尔可夫随机过程进行仿真成为可能。