[论文解读] The Stokes complex for Virtual Elements with application to Navier--Stokes flows

L. Beirão da Veiga, David Mora+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文通过引入一个 $ C^1 $-连续的虚拟单元空间 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $，为二维不可压缩 Navier--Stokes 流动的虚拟单元方法（VEM）建立了 Stokes 复形结构，证明了三元组 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 构成一个精确的 Stokes 复形。该方法实现了离散 $ \mathrm{curl} $ 形式的 Navier--Stokes 问题，具有无散度速度场和可通过自由度计算的算子，数值测试验证了其最优收敛率和鲁棒性。

ABSTRACT

In the present paper, we investigate the underlying Stokes complex structure of the Virtual Element Method for Stokes and Navier--Stokes introduced in previous papers by the same authors, restricting our attention to the two dimensional case. We introduce a Virtual Element space $Φ_h \subset H^2(Ω)$ and prove that the triad $\{Φ_h, V_h, Q_h\}$ (with $V_h$ and $Q_h$ denoting the discrete velocity and pressure spaces) is an exact Stokes complex. Furthermore, we show the computability of the associated differential operators in terms of the adopted degrees of freedom and explore also a different discretization of the convective trilinear form. The theoretical findings are supported by numerical tests.

研究动机与目标

• 揭示虚拟单元方法在 Stokes 和 Navier--Stokes 问题中的潜在 Stokes 复形结构。
• 构建一个 $ C^1 $-连续的虚拟单元空间 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $，使其与速度和压力空间共同构成离散 Stokes 复形。
• 证明三元组 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 构成精确的 Stokes 复形，确保离散无散度速度和稳定解的存在性。
• 基于 $ \Phi_h $ 空间和自由度，开发一种可计算的离散 $ \mathrm{curl} $ 形式的 Navier--Stokes 问题。
• 将基于 Stokes 复形的 VEM 与直接对流函数形式进行 $ C^1 $ 离散化的方法进行比较，分析条件数和系统规模。

提出的方法

• 引入一个由多边形网格上 $ H^2 $-连续函数构成的虚拟单元空间 $ \Phi_h $，其自由度包括点值、梯度的矩（至 $ k-1 $ 阶）以及拉普拉斯算子的矩（至 $ k-1 $ 阶）。
• 通过 Hessian 算子的投影和稳定项 $ \widetilde{\mathcal{S}}^E $ 定义离散双线性形式 $ \widetilde{a}_h(\cdot,\cdot) $，确保其可通过自由度计算。
• 通过投影 $ \Delta\psi_h $、$ \mathrm{curl}\,\psi_h $ 和 $ \nabla\psi_h $ 构造可计算的三线性形式 $ \widetilde{c}_h(\cdot;\cdot,\cdot) $，所有项均可由自由度表示。
• 推导出在 $ \Phi_h $ 空间中 Navier--Stokes 问题的离散 $ \mathrm{curl} $ 形式，其速度解与原方法一致，但需通过全局压力恢复系统求解。
• 提出并分析了对对流项的第三种离散化方式，将收敛性结果推广至该变体。
• 将基于 Stokes 复形的 VEM 与直接对流函数形式的 $ C^1 $-VEM 离散化方法进行比较，评估其条件数和系统规模。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟单元方法在 Stokes 和 Navier--Stokes 问题中能否被置于离散 Stokes 复形结构中？
• RQ2 是否可以构建一个 $ C^1 $-连续的虚拟单元空间 $ \Phi_h \subset H^2(\Omega) $，使得 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 构成精确的 Stokes 复形？
• RQ3 复形中的微分算子（如拉普拉斯算子、旋度）是否可由虚拟单元空间的自由度计算得出？
• RQ4 所得到的离散 $ \mathrm{curl} $ 形式是否保持速度解，同时通过全局系统实现压力恢复？
• RQ5 基于 Stokes 复形的 VEM 在条件数和系统规模方面，与直接 $ C^1 $ 流函数离散化方法相比表现如何？

主要发现

• 三元组 $ \{\Phi_h, \mathbf{V}_h, Q_h\} $ 构成精确的 Stokes 复形，确保离散无散度速度和唯一解的存在性。
• 离散双线性形式和三线性形式均可仅通过自由度计算，且稳定项 $ \widetilde{\mathcal{S}}^E $ 满足与网格尺寸无关的稳定性界。
• Navier--Stokes 问题的离散 $ \mathrm{curl} $ 形式得到的速度解与原始 VEM 一致，压力通过一个全局矩形系统进行重构。
• 数值测试结果表明，速度和压力均达到最优收敛率，条件数和系统规模与标准有限元法相当或更优。
• 所提出的对流项替代离散化方式保持了收敛性特性，为实现高阶精度提供了可行替代方案。
• 基于 Stokes 复形的 VEM 在条件数和系统规模方面优于直接 $ C^1 $ 流函数离散化方法，尤其在高阶单元中优势更为显著。