[论文解读] The Strange World of Non-amenable Symmetries

Erhard Seiler|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究了具有非紧致、非可约对称群（如双曲目标空间）的非线性σ模型，表明即使在一维和二维中也会发生自发对称性自发破缺（SSB），由于非可约性而违反了Mermin-Wagner定理。关键贡献在于：尽管不存在可归一化的基态，仍存在唯一的幺正且连续的基态表示；通过Osterwalder-Schrödinger重构，出现非可分的希尔伯特空间，且二维连续极限仍存在开放问题。

ABSTRACT

Nonlinear sigma models with non-compact target space and non-amen-able symmetry group were introduced long ago in the study of disordered electron systems. They also occur in dimensionally reduced quantum gravity; recently they have been considered in the context of the AdS/CFT correspondence. These models show spontaneous symmetry breaking in {\it any} dimension, even one and two (superficially in contradiction with the Mermin-Wagner theorem) as a consequence of the non-amenability of their symmetry group. The low-dimensional models show other peculiarities: invariant observables remain dependent on boundary conditions in the thermodynamic limit and the Osterwalder-Schrader reconstruction yields a non-separable Hilbert space. The ground state space, however, under quite general conditions, carries a unique unitary and continuous representation. The existence of a continuum limit in 2D is an open question: while the perturbative Renormalization Group suggests triviality, other arguments hint at the existence of a conformally invariant continuum limit at least for suitable observables. This talk gives an overview of the work done during the last several years in collaboration first of all with Max Niedermaier, some of it also with Peter Weisz and Tony Duncan.

研究动机与目标

• 理解具有非紧致、非可约对称群的量子场论行为，特别是在标准定理（如Mermin-Wagner定理）不适用的低维情形。
• 分析在双曲空间和具有此类对称性的晶格模型中，基态结构与不变可观测量的性质。
• 研究Osterwalder-Schrödinger重构对希尔伯特空间可分性及二维模型连续极限存在性的影响。
• 评估微扰重整化群结果的有效性，这些结果表明二维双曲σ模型中可能存在红外自由性或共形不变性。
• 确定是否存在非平凡的连续极限，尤其在微扰论与形式共形场论计算之间存在矛盾的背景下。

提出的方法

• 利用拉普拉斯-贝尔特拉米算子和梅勒-福克变换，分析在双曲空间 $\mathbb{H}_N = SO_o(1,N)/SO_o(N)$ 上的量子力学，研究谱性质与广义基态。
• 应用Osterwalder-Schrödinger重构程序于欧氏路径积分，表明由于连续谱和非可归一化基态，导致非可分的希尔伯特空间。
• 使用Ward恒等式与关联函数，在有限体积晶格模型中检测自发对称性破缺，即使在一维和二维中亦然。
• 应用微扰一环重整化群分析，表明该模型在里奇流下演化，暗示红外渐近自由性。
• 考虑非可约群的非幺正表示对量子场论的公理约束，排除标准场多重态在对称性未破缺时的存在。
• 评估Haba的正式计算，其结果表明当 $\beta > 1/(3\pi)$ 时，存在一个中心荷为 $c=1$ 的共形场论，暗示可能存在非高斯的连续极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧致、非可约对称群的非线性σ模型中，尽管存在Mermin-Wagner定理，但在一维和二维中是否仍会发生自发对称性破缺？
• RQ2 Osterwalder-Schrödinger重构程序如何影响具有连续谱和非可归一化基态的模型中的希尔伯特空间结构？
• RQ3 在二维非线性σ模型中，若双曲目标空间存在，且微扰重整化群与形式共形场论之间存在矛盾证据，是否存在非平凡的连续极限？
• RQ4 为何在这些模型中标准的无质量间隙论证会失效，其低能谱的性质是什么？
• RQ5 能否构造一个具有未破缺非可约对称性的幺正量子场论，还是对称性必然发生自发破缺？

主要发现

• 自发对称性破缺在任意维度中均会发生，包括一维和二维，这是由于对称群的非可约性，从而否定了Mermin-Wagner定理的适用性。
• 基态空间携带唯一的幺正且连续表示，尽管不存在可归一化的基态向量。
• Osterwalder-Schrödinger重构产生非可分的希尔伯特空间，这是由连续谱和非可归一化广义基态导致的后果。
• 微扰重整化群分析表明存在红外渐近自由性，暗示模型在连续极限下可能为平凡，但这与大尺度下曲率敏感性的预期相矛盾。
• Haba的正式计算表明，当 $\beta > 1/(3\pi)$ 时，存在一个共形不变的连续极限，中心荷为 $c=1$，提示可能存在非高斯的固定点。
• 公理性考虑排除了非幺正表示下对称群作用的量子场多重态的存在，提示要么必须发生SSB，要么仅部分场能构成一个量子场论。