[论文解读] The Stratified Spaces of Real Polynomials & Trajectory Spaces of Traversing Flows

Gabriel Katz|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文建立了 (n+1)-维流形带边界的遍历通用向量场的轨迹空间与次数至多为 2n+2 的实系数多项式分层空间之间深刻的组合与几何对应关系。通过分析流的切触模式，利用通用偏序集 Ω•′⟨n] 和 Ω⟨2n+2]，构建了轨迹空间的胞覆分解，该分解映射实系数多项式根的动力学，从而实现了对这类流的新特征类的定义。

ABSTRACT

This paper is the third in a series that researches the Morse Theory, gradient flows, concavity and complexity on smooth compact manifolds with boundary. Employing the local analytic models from \cite{K2}, for \emph{traversally generic flows} on $(n+1)$-manifolds $X$, we embark on a detailed and somewhat tedious study of universal combinatorics of their tangency patterns with respect to the boundary $\d X$. This combinatorics is captured by a universal poset $\Omega^\bullet_{'\langle n]}$ which depends only on the dimension of $X$. It is intimately linked with the combinatorial patterns of real divisors of real polynomials in one variable of degrees which do not exceed $2(n+1)$. Such patterns are elements of another natural poset $\Omega_{\langle 2n+2]}$ that describes the ways in which the real roots merge, divide, appear, and disappear under deformations of real polynomials. The space of real degree $d$ polynomials $\mathcal P^d$ is stratified so that its pure strata are cells, labelled by the elements of the poset $\Omega_{\langle d]}$. This cellular structure in $\mathcal P^d$ is interesting on its own right (see Theorem ef {th4.1} and Theorem ef {th4.2}). Moreover, it helps to understand the \emph{localized} structure of the trajectory spaces $\mathcal T(v)$ for traversally generic fields $v$, the main subject of Theorem ef {th5.2} and Theorem ef {th5.3}.

研究动机与目标

• 理解遍历通用向量场与 (n+1)-维流形边界之间切触模式的普遍组合结构。
• 建立实系数多项式根空间（次数 ≤ 2n+2）的分层结构与这类流的轨迹空间之间的精确对应关系。
• 利用实系数多项式根的合并与分裂的组合结构，为遍历通用流 v 的轨迹空间 T(v) 构造一个胞覆模型。
• 在轨迹空间上定义一个与胞覆分解相容的正锥结构，以反映流的局部几何。

提出的方法

• 使用偏序集 Ω•′⟨n] 对 (n+1)-流形上遍历通用流的切触层的普遍组合结构进行分类。
• 应用 [K2] 中的局部解析模型，通过满足 uk + Σxj uj = 0 的坐标系 (u,x) 描述边界切触的几何结构。
• 通过将每个轨迹的组合类型 ω 与偏序集 Ω⟨2n+2] 中实系数多项式根构型的胞胞 Eˆω,k 关联，构建轨迹空间 T(v) 的胞覆分解。
• 从除数数据与标记构造商空间 Zω / ∼，其中等价关系由 Ψ-映射与 R∗+-作用决定。
• 在模型空间 Tγ ≈ Tω × Rn−|ω|′ 上引入一个半自由的 R∗+-作用，该作用在每个胞胞 Eˆω,k 上诱导出正锥结构。
• 利用维埃特映射与 R∗+-等变性，将锥结构整体提升至轨迹空间 T(v)，确保各层之间的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 遍历通用向量场在 (n+1)-维流形带边界的切触模式如何产生一个普遍的组合结构？
• RQ2 次数 ≤ 2n+2 的实系数多项式分层空间与遍历通用流的轨迹空间之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 能否利用实系数多项式根的动力学，描述轨迹空间 T(v) 在给定轨迹 γ 附近的局部胞覆结构？
• RQ4 轨迹上切触点的数量如何与实系数多项式根的组合结构相关联？
• RQ5 能否在轨迹空间 T(v) 上一致地定义一个反映流局部几何的正锥结构？

主要发现

• 遍历通用流 v 的轨迹空间 T(v) 允许一个由偏序集 Ω•′⟨n] 的元素索引的胞覆分解，该分解捕捉了边界切触的普遍组合结构。
• 轨迹空间中的每个胞胞 Eˆω,k 对应于实系数多项式根的一种特定构型，此类胞胞的数量受 m(γ)/2 的限制，其中 m(γ) 是轨迹的重数。
• 投影 p: T(v) → S 在纯层 S(κ(ˆω))◦ 上的纤维基数为 #[Υ(κ(ˆω))]，其值至多为 m(γ)/2。
• 模型空间 Tγ ≈ Tω × Rn−|ω|′ 上具有一个半自由的 R∗+-作用，γ 为唯一不动点，该作用在每个胞胞 Eˆω,k 上诱导出正锥结构。
• 每个 Eˆω,k 上的锥结构在胞胞之间相容，并在 Tγ 中 γ 的链复形上定义了一个胞覆结构，与 T(v) 的整体几何一致。
• 该构造为在带边界的 (n+1)-维流形上定义遍历通用流的新特征类提供了基础，其依据为通用偏序集 Ω⟨2n+2] 与 Ω•′⟨n]。