[论文解读] The Strength of Predicative Abstraction

Sean Walsh|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文通過證明一個在預設性概括和全局選擇下封閉的抽象原則系統可解釋克里普克-普萊特克集合論（KPN∗）的一種變體，從而建立弗雷格定理的預設性類比；該變體進一步可解釋二階算術的預設性子系統Σ₁¹-AC。此結果透過模擬馮·諾伊曼對基礎公理的相對一致性證明，並利用與布里奧利-福蒂悖論相關的抽象原則來簡化良基性檢驗，從而實現。

ABSTRACT

Frege’s theorem says that second-order Peano arithmetic is interpretable in Hume’s Principle and full impredicative comprehension. Hume’s Principle is one example of an abstraction principle, while another paradigmatic example is Basic Law V from Frege’s Grundgesetze. In this paper we study the strength of abstraction principles in the presence of predicative restrictions on the comprehension schema, and in particular we study a predicative Fregean theory which contains (i) all the abstraction principles whose equivalence relations can be proven to be equivalence relations in a weak back-ground second-order logic, as well as (ii) a form of global choice (cf. Definition 2.7). Our main theorem shows that this predicative Fregean theory interprets a variant KPN∗ of Kripke-Platek set theory KP (cf. Theorem 3.2). Since this theory KPN ∗ in turn inter-prets the predicative subsystem Σ11-AC of second-order Peano arithmetic, we obtain a predicative analogue of Frege’s theorem. The proof of this result proceeds by using the set-theoretic resources of the Grundgesetze to emulate the definitions featuring in the von Neumann relative consistency proof of the axiom of foundation (cf. Definition 3.1), and by using an abstraction principle related to the Burali-Forti paradox to reduce the complexity of testing for well-foundedness.

研究动机与目标

• 研究當概括被限制為預設性形式時，抽象原則的邏輯強度。
• 發展一個包含所有其等價關係在弱二階邏輯中可證明為等價關係的抽象原則的預設性弗雷格式理論。
• 引入一種全局選擇形式以增強系統的解釋能力。
• 在預設性約束下，建立抽象原則與基礎集合論之間的聯繫。
• 提供弗雷格定理的預設性類比，將抽象原則與二階算術的一個片段聯繫起來。

提出的方法

• 構造一個包含所有其等價關係在弱背景二階邏輯中可證明為等價關係的抽象原則的預設性弗雷格式理論。
• 引入一種全局選擇形式以增強系統的表達與解釋強度。
• 使用弗雷格《概念文字》中的集合論構造，模擬馮·諾伊曼對基礎公理的相對一致性證明。
• 利用與布里奧利-福蒂悖論相關的抽象原則，以降低良基性檢驗的複雜度。
• 證明所得系統可解釋克里普克-普萊特克集合論的一種變體KPN∗。
• 建立KPN∗可解釋二階皮亞諾算術的預設性子系統Σ₁¹-AC。

实验结果

研究问题

• RQ1 當概括被限制為預設性形式時，抽象原則的解釋強度為何？
• RQ2 一個包含全局選擇的預設性弗雷格式理論能否解釋一種基礎集合論？
• RQ3 如何在基於預設性抽象的系統中模擬馮·諾伊曼對良基性的構造？
• RQ4 與布里奧利-福蒂悖論相關的抽象原則在何種程度上可簡化良基性檢驗？
• RQ5 所得系統是否提供弗雷格定理的預設性類比？

主要发现

• 預設性弗雷格式理論可解釋克里普克-普萊特克集合論的一種變體KPN∗。
• 該系統KPN∗進一步可解釋二階皮亞諾算術的預設性子系統Σ₁¹-AC。
• 證明依賴於使用《概念文字》風格的集合論資源，模擬馮·諾伊曼對基礎公理的相對一致性證明。
• 利用與布里奧利-福蒂悖論相關的抽象原則，以降低良基性測試的複雜度。
• 結果建立了弗雷格定理的預設性類比，拓展了在預設性約束下抽象原則的適用範圍。
• 該系統在保持與預設性概括一致的同時，達到了顯著的解釋強度。