[论文解读] The strength of Ramsey's theorem for pairs and arbitrarily many colors

Theodore A. Slaman, Keita Yokoyama|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明了，对于两两配对及任意多颜色的拉姆齐定理（$\mathrm{RT}^2$）与弱克隆尼德引理（$\mathsf{WKL}_0$）的组合，是 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 的 $\Pi^1_1$-保守扩展，从而精确确定了 $\mathrm{RT}^2$ 的一阶强度为 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$。证明使用了一种改进的马蒂亚斯强迫变体，构造出一个保持 $\Sigma^B_3$-可定义性的 $\Delta^B_3$-解，表明 $\mathrm{RT}^2 + \mathsf{WKL}_0$ 并未比 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 证明任何新的 $\Pi^1_1$ 语句。该结果强化了先前的保守性结果，并填补了 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 与 $\mathrm{I}\Sigma^0_3$ 之间在 $\mathrm{RT}^2$ 一阶部分上的差距。结果确认了 $\mathrm{RT}^2$ 的一阶强度恰好为 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$，解决了反向数学中的一个关键问题。

ABSTRACT

In this paper, we show that $\mathrm{RT}^{2}+\mathsf{WKL}_0$ is a $Π^{1}_{1}$-conservative extension of $\mathrm{B}Σ^0_3$.

研究动机与目标

• 确定在基系统 $\mathsf{RCA}_0$ 上，拉姆齐定理对两两配对及任意多颜色（$\mathrm{RT}^2$）的确切一阶强度。
• 填补关于 $\mathrm{RT}^2$ 一阶部分已知界限 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 与 $\mathrm{I}\Sigma^0_3$ 之间的差距。
• 证明 $\mathrm{RT}^2 + \mathsf{WKL}_0$ 是 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 的 $\Pi^1_1$-保守扩展，从而确认 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 是 $\mathrm{RT}^2$ 的精确一阶强度。
• 将乔拉克、洛克和斯拉曼的强迫论证加以改进，以在 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 上建立 $\mathrm{D}^2$ 分量的 $\Pi^1_1$-保守性。

提出的方法

• 使用一种马蒂亚斯强迫的变体，构造一个 $\Delta^B_3$-解 $G$，使其对应于 $\mathbb{N}$ 的 $\Delta^B_2$-划分，且 $G$ 完全包含于划分的某一部分中。
• 强迫条件通过有限序列 $\bar{D}^*$、集合 $Z^*$、函数 $\tau$ 以及界限 $\ell_0, \ell_1$ 定义，并采用‘最左’扩展策略以确保共终性。
• 沿强迫偏序集中的最左路径 $p_0 \succ p_1 \succ \cdots$ 进行递归构造，确保解集 $G = \bigcup_{j \in J} F_i^{p_j}$ 无界且为 $\Delta^B_3$。
• 构造确保任何 $\Sigma^{B \oplus G}_3$-集合在模型中已为 $\Sigma^B_3$-可定义，从而保持 $\Sigma^B_3$-片段的性质。
• 证明利用 $\mathsf{WKL}_0$ 确保强迫树中存在一条共终路径，并利用 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 控制构造中存在量词的有界性。
• 关键技术步骤是证明：对任意 $\Delta^B_2$-划分，存在一个 $\Delta^B_3$-无界解 $G$，使得 $G \subseteq \mathcal{A}_i$ 对某个 $i < k$ 成立，且 $\Sigma^{B \oplus G}_3$-可定义性与 $\Sigma^B_3$-可定义性一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathsf{RCA}_0$ 上，拉姆齐定理对两两配对及任意多颜色（$\mathrm{RT}^2$）的确切一阶强度是什么？
• RQ2 $\mathrm{RT}^2 + \mathsf{WKL}_0$ 是否证明了任何超出 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 所蕴含的新的 $\Pi^1_1$ 语句？
• RQ3 能否通过改进的强迫论证，证明 $\mathrm{RT}^2$ 的 $\mathrm{D}^2$ 分量在 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 上是 $\Pi^1_1$-保守的？
• RQ4 $\mathrm{RT}^2$ 的一阶部分是否严格弱于 $\mathrm{I}\Sigma^0_3$，还是恰好与 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 一致？
• RQ5 能否构造一个 $\Delta^B_3$-解，使其对应于 $\Delta^B_2$-划分，且保持 $\Sigma^{B \oplus G}_3$-可定义性？

主要发现

• 本文确立了 $\mathrm{RT}^2 + \mathsf{WKL}_0$ 是 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 的 $\Pi^1_1$-保守扩展，即不会比 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 证明任何新的 $\Pi^1_1$ 语句。
• $\mathrm{RT}^2$ 的一阶强度恰好为 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$，解决了其是否严格介于 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 与 $\mathrm{I}\Sigma^0_3$ 之间的开放问题。
• 提出了一种新的强迫构造，可对任意 $\Delta^B_2$-划分产生一个 $\Delta^B_3$-无界解 $G$，且满足 $\Sigma^{B \oplus G}_3$-可定义性与 $\Sigma^B_3$-可定义性一致。
• 证明表明 $\mathsf{RCA}_0 + \mathrm{D}^2 + \mathrm{B}\Sigma^0_3$ 是 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 的 $\Pi^1_1$-保守扩展，结合 $\mathrm{COH}$ 的已知结果，可推出 $\mathrm{RT}^2 + \mathsf{WKL}_0$ 的完整保守性结果。
• 构造确保解集 $G$ 为无限且 $\Delta^B_3$，且强迫路径在模型中为共终，依赖于 $\mathsf{WKL}_0$ 和 $\mathrm{B}\Sigma^0_3$ 来控制可定义集合的复杂度。
• 该结果确认 $\mathrm{RT}^2$ 不蕴含 $\mathrm{I}\Sigma^0_3$，因此其一阶强度严格弱于 $\mathrm{I}\Sigma^0_3$，解决了反向数学中一个长期存在的问题。